Эффективная плотность состояний в зоне проводимости: Физические процессы в p-n переходах. Физический смысл понятия “Эффективная плотность состояний”

Содержание

Физические процессы в p-n переходах. Физический смысл понятия “Эффективная плотность состояний”

Министерство образования РФ

ВлГУ

Кафедра КТРЭС

Лабораторная работа№1

Физические процессы в p-n переходах

Выполнил:

студент гр. РЭ-100

Проверил:

Владимир, 2002

1. Вопрос №7

Физический смысл понятия “Эффективная плотность состояний”

Физический смысл понятия “Эффективная плотность состояний” определяется в зоне проводимости и в валентной зоне. В зоне проводимости эффективная плотность состояний определяется формулой:

где N_C – эффективная плотность состояний в зоне проводимости;

m_n – эффективная масса электрона;

q – элементарный заряд;

φ_t_{– температурный потенциал;}

h – постоянная Планка;

m – масса свободного электрона;

T – термодинамическая температура.

Из формулы (1) следует, что эффективная плотность состояний в зоне проводимости представляет собой максимально возможную концентрацию электронов в невырожденном полупроводнике. Понятие “эффективная плотность состояний” применимо в тех случаях, когда выполняется условие: энергия уровня Ферми стремиться быть равной энергии дна зоны проводимости. По физическому смыслу величина N_C_{близка к плотности энергитических уровней в зоне
проводимости в полосе энергий от φ_с до φ_с+φ_t (где φ_с – энергия дна зоны проводимости, φ_t – температурный потенциал).}

В валентной зоне эффективная плотность состояний определяется формулой:

где N_V – эффективная плотность состояний в валентной зоне;

m_p – эффективная масса “дырки”;

q – элементарный заряд;

φ_t_{– температурный потенциал;}

h – постоянная Планка;

m – масса свободного электрона;

T – термодинамическая температура.

Из формулы (2) следует, что эффективная плотность состояний в валентной зоне представляет собой максимально возможную концентрацию “дырок” в невырожденном полупроводнике. Понятие “эффективная плотность состояний” применимо в тех случаях, когда выполняется условие: энергия уровня Ферми стремиться быть равной энергии потолка валентной зоны. По физическому смыслу величина N_V_{близка к плотности энергитических уровней в валентной
зоне в полосе энергий от φ_v до φ_v-φ_t (где φ_v – энергия потолка валентной зоны,
φ_t – температурный потенциал).}

2. Задача № 7

Условие:

Используя распределение Ферми-Дирака для примесного полупроводника

где N_dn – концентрация нейтральных атомов донорной примеси; E_d_{–
энергия донорного уровня, определить относительную долю ионизированных атомов
фосфора с энергией активации E_c-E_d=0. 044 эВ при температурах 50, 100, 300 К.}

Решение:

Относительная доля ионизированных атомов фосфора определяется распределением Ферми-Дирака:

где N_dn_{–
концентрация нейтральных атомов донорной примеси;}

N_d_{– концентрация
ионизированных атомов донорной примеси;}

E_c-E_d – энергиея активации;

k – коэффициент Больцмана;

T – термодинамическая температура.

При температуре, равной 300 К, уровень Ферми размещается в середине примесной зоны, поэтому разность между энергией донорного уровня и энергией уровня Ферми равна половине энергии активации:

Относительная доля ионизированных атомов фосфора при температуре – 300 К, равна:

При более низких температурах (T=50 К; T=100 К) уровень Ферми располагается несколько ближе к дну зоны проводимости и дальше от донорного уровня, т.к. энергия электронов прямо пропорциональна kT, и им необходимо затратить большую энергию для достижения энергии уровня Ферми. Разность между энергией донорного уровня и энергией уровня Ферми изменяется не значительно, поэтому берётся такое же значение энергии активации как при температуре 300 К для 100 К:

, для 50 К:

Ответ: для значений температур T=300 К, T=100 К и T=50 К полученны соответственно следующие результаты относительной доли ионизированных атомов фосфора: 0.459, 0.13, 0.1.

Состояний плотность в зоне проводимости

Здесь N — эффективная плотность состояний в зоне проводимости, определяемая выражением (7.133) g — фактор спинового вырождения примесного уровня. Обсудим физический смысл величины g. Полное число примесных состояний в запрещенной зоне равно числу примесных атомов, т. е. равно A d в расчете на единичный объем кристалла, поскольку каждый атом может отдать [c.252]

В отличие от кристаллического полупроводника, где при комнатной температуре электроны с мелких донорных уровней переходят в зону проводимости, здесь они перейдут, в основном, на локализованные состояния вблизи уровня Ферми. При высокой плотности состояний это приводит к незначительному смещению уровня Ферми из положения Ер в положение и электрические свойства полупроводника практически не изменятся. Новое положение уровня Ферми может быть найдено из условия

[c.365]

Итак, в полупроводнике надо рассматривать два статистических коллектива газ электронов проводимости и газ дырок. Поскольку электрон проводимости и дырка рождаются одновременно (в паре друг с другом), плотности обоих газов одинаковы. В термодинамическом равновесии уровни Ферми обоих газов совпадают общий уровень проходит примерно посередине запрещенной зоны. Если принудительно перебрасывать электроны из валентной зоны в зону проводимости (например, облучая полупроводник светом), то можно при данной температуре увеличить плотность газа электронов проводимости и соответственно плотность дырочного газа при этом полупроводник переходит в неравновесное состояние, уровень Ферми электронов проводимости поднимается, приближаясь к зоне проводимости, а уровень Ферми дырок опускается к валентной зоне.

В неравновесном полупроводнике можно создать вырожденные газы электронов проводимости и дырок, должным образом [c.144]

В идеальном полупроводнике, если все электроны находятся в наинизшем энергетическом состоянии, в зоне проводимости не должно быть электронов. Такое положение теоретически возможно лишь при абсолютном нуле. При обычных температурах в зоне проводимости всегда найдется некоторое количество электронов, заброшенных туда из валентной зоны путем термического возбуждения. Мгновенная плотность электрического тока ], связанного с движением какого-либо электрона, пропорциональна его скорости у. Плотность тока, связанного с движением одного электрона в объеме Й, может быть представлена в виде [c.88]

График распределения плотности состояний собственного кристаллического полупроводника показан на рис. 4, а. В зоне проводимости и в валентной зоне такого полупроводника плотность состояний велика, а в запрещенной зоне — равна нулю. В запрещенной зоне электронного (рис.

4, б) и дырочного (рис. 4, в) кристаллических полупроводников появляется пик (заштрихован), соответствующий донорным или акцепторным уровням [c.9]

Число электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне обычно значительно меньше числа энергетических состояний, содержащихся в этих зонах. Поэтому средняя плотность заполнения энергетических состояний электронами и дырками Г соответствует неравенству [c.52]

Под этим режимом принято понимать такое состояние кристалла, непрерывно освещаемого записываемой интерференционной картиной, при котором амплитуда решетки электрического поля остается неизменной во времени dE (.ldt = 0). Из уравнения (4.12) следует, что в подобном состоянии глубина модуляции плотности электронов в зоне проводимости а должна совпадать с глубиной модуляции [c.52]

Вывести закон действующих масс для концентраций основных и неосновных носителей в полупроводнике, предполагая, что для носителей тока в зоне проводимости и в валентной зоне, так же как для классических свободных частиц, применима статистика Максвелла — Больцмана и что функция плотности состояний параболическая для обеих зон. Эффективные массы т% (для электронов) и т р (для дырок) считать известными и постоянными. [c.77]

Ф и е, 48. Предполагаемая форма кривых плотности состояний в зоне проводимости и в d-зоне переходного металла. [c.125]

Согласно зонной теории твердого тела, если имеется достаточное число электронов для заполнения всех разрешенных энергетических состояний одной или нескольких зон и последняя заполненная зона не соприкасается и не перекрывается со следующей зоной, то при абсолютном нуле совершенный кристалл такого вещества является изолятором. При этом отсутствует перекрытие кривых зависимости плотности состояний от энергии (см. фиг, 2). Энергетический разрыв между самыми высокими занятыми состояниями и самыми низкими незанятыми называется областью запрещенных значений энергии или запрещенной зоной. При этом уровень Ферми проходит посредине запрещенной зоны. Если ширина запрещенной зоны мала, то при повышении температуры электроны из занятой зоны будут переходить на незанятые энергетические состояния следующей зоны.

В этом случае приложение разности потенциалов приведет к появлению проводимости, поскольку имеется достаточно большое число незанятых состояний, по которым эти электроны могут свободно двигаться. Такие вещества известны под названием собственных полупроводников. Если ширина запрещенной зоны достаточно велика, то тепловая энергия, необходимая для активации электронов в зону проводимости, может оказаться настолько высокой, что это вызовет смещение и миграцию атомов или даже пробой твердого тела. Такое положение характерно для некоторых изоляторов при обычнЫх температурах. Значение ширины запрещенной зоны для гомологических рядов веществ является мерой прочности связи между атомами в кристалле. [c.262]

Рассмотрим полупроводник, в котором естественные процессы, происходящие при определенной температуре, достаточны для того, чтобы поддерживать заданную объемную плотность го свободных электронов в зоне проводимости (эта зона может принять гораздо большее число электронов). Данное значение плотности п при тепловом равновесии возникает в результате конкуренции двух противоположных процессов 1) генерации (со скоростью g) электронов проводимости путем возбуждения их из заполненных состояний с низкими энергиями и 2) рекомбинации (со скоростью г) свободных электронов путем обратного перехода в любое вакантное состояние с низкой энергией. [c.404]

Пороговая энергия соответствует расстоянию от максимума валентной зоны до минимума зоны проводимости (запрещенная зона). Это та минимальная энергия, которая должна быть сообщена электрону для того, чтобы он мог перейти в зону проводимости. Структура выше пороговой энергии определяется переходами с уровней валентной зоны в более высокие уровни зоны проводимости. Их вклад в б2 сильно зависит от того, где в зоне Бриллюэна лежат начальные и конечные состояния, насколько там велика плотность состояний, и от того, являются ли переходы между уровнями разрешенными нли запрещенными симметрией решетки. [c.261]

Оценим величину которая называется эффективной плотностью состояний в зоне проводимости (не путать с плотностью электронных состояний) [c.28]

Предположим, что мы нашли основное состояние электронов в диэлектрике в приближении независимых электронов. Низшее возбужденное состояние диэлектрика будет, очевидно, отвечать переносу электрона с самого высокого уровня в наиболее высоко расположенной заполненной зоне (т. е. в валентной зоне) на самый нижний уровень наинизшей незаполненной зоны (зоны проводимости) ). Такое изменение распределения электронов не влияет на самосогласованный потенциал, в котором они движутся см. (17.7) или (17.15)]. Это объясняется тем, что блоховские электроны не локализованы ( (г) Р -периодическая функция), поэтому локальное изменение плотности заряда, обусловленное переходом одного электрона на другой уровень, имеет порядок МЫ (поскольку только им часть заряда электрона окажется в некоторой выбранной элементарной ячейке), т.

е. пренебрежимо мало. Поэтому для возбужденной конфигурации не надо проводить нового расчета электронных энергетических уровней энергия первого возбужденного состояния будет превышать энергию основного состояния на величину — 1 где — минимальная энергия в зоне проводимости, а. — максимальная энергия в валентной зоне. [c.244]

Предполагая, что функции плотности состояний определяются выражениями (8.2.5) и (8.2.6), а распределения электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне—распределением Больцмана [формулы (7,2.4) и (7.2.5)1, показать, что п (г) и р (е) достигают максимальных значений при энергии кТ 2) от края зоны. Доказать, что диапазон энергий, при которых п ( ) и р (е) превышают (1/ /2) от максимального значения, составляет 1,1 кТ. [c.237]

Здесь п — полная концентрация электронов Ап( с) — концентрация электронов в зоне проводимости. Из рис. 11.11 и выражения 11.15) следует, что примесную проводимость можно получить, если каким-либо способом удастся снизить плотность состояний в запрещенной зоне. Второй путь — ввести в полупроводник большое количество примесных атомов так, чтобы перекомпенсировать дефектные состояния. Все это, разумеется, возможно при условии, что примесные атомы образуют донорные (или акцепторные) уровни в запрещенной зоне. [c.365]

Иная ситуация имеет место в вырожденных полупроводниках. Слабое вырождение приводит к уменьшению коэффициентов поглощения на частотах, близких к краю собственного поглощения. Сильное же вырождение вообще сдвигает край поглощения в сторону более коротких волн. Этот эффект называют сдвигом Бурштейна. Он отчетливо проявляется в полупроводниках с малой плотностью состояний у дна зоны проводимости (или у потолка валентной зоны), в которых сильное вырождение достигается при сравнительно малых уровнях легирования. Так, в InSb легирование донорами (концентрация 5 10 м ) приводит к сдвигу длинноволновой границы собственного поглощения с 7,1 до 3,5 мкм. Во многих же случаях сдвиг Бурштейна маскируется другим эффектом сильного легирования — изменением плотности состояний у краев энергетических зон. Это изменение происходит вследствие размытия примесных уровней в примесную зону и слияния последней с зоной проводимости или с валентной зоной. [c.322]

Переход П. т. т. в результате неустойчивости в состояние диссипативной пространственно-временной структуры может быть описан на языке неравновесного фазового перехода. Как правило, с изменением уровня возбуждения П. т. т. испытывает неск. неравновесных фазовых переходов, в результате к-рых одни диссипативные структуры заменяются другими. Примерами этих структур являются колебания концентрации носителей и (или) Т. Часто эти колебания сопровождаются изменением тока, проходящего через П. т. т. (в случае токовых неустойчивостей), так что П. т. т. в сочетании с внеш. электрич. цепью выступает как генератор электрич. колебаний. Др. примером служит инм-екционный лазер, где в результате инжекции электронов и дырок создаётся бинолярная плазма высокой плотности с инвертиров.

заполнением электронных состояний в зоне проводимости по отношению к валентной зоне. Возникновение когерентного эл.-магн. излучения может быть описано как неравновесный фазовый переход. [c.604]

Нестабильность валентности и возможность перехода /-электрона в зону проводимости и обратно (межконфи-гурац. флуктуации) существенно проявляются в большинстве физ. свойств систем с П, в, Т, к. энергия 4/-уровня лежит вблизи р, то размытие уровня приводит к появлению вблизи /р узкого пика в плотности состояний с шириной, пропорциональной V , где V — матричный элемент / — с-перехода (рис, 5), [c.142]

Н1э, — гл. компоненты тензора эффективной массы электрона и дырки, е — заряд электрона, Р — вектор поляризации света, е — матричные элементы операторов импульса электронов (дырок). Множитель (Йш—отражает зависимость плотностпи состояний в зоне проводимости (валентной зоне) от энергии кванта. Матричные элементы е слабо зависят от давления (как и постоянная решётки). Незначительно меняются и эфф. массы носителей, т. е, М. Осн, влияние давления связано со сдвигом электронных уровней, определяющих плотность состояний. Давление позволяет не только сдвигать электронные уровни, но и изменять электронный спектр. [c.188]

СОБСТВЕННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ — проводимость полупроводника, обусловленная электронами, возбуждёнными из валентной зоны в зону нроводнмости я дырками, образовавшимися в валентной зоне. Крдцеятрацип п таких (зонных) электронов и дырок равны, и их можно, выразить через эфф, плотности состояний в зоне проводимости (Л д) и в валентной зоне (Nfi), ширину запрещённой зоны и абс. темп-ру Т [c.567]

Ландау впервые показал, что диамагнетизм электронов проводимости возникает в результате квантовомеханических эффектов. В магнитном поле диаметр орбиты квантуется. Легко показать [27], что плотность состояний не зависит от и имеет тот же вид, что и для свободных электронов (разд. 4. 2). Изменяется, однако, распределение состояний. Квазинепрерывный набор уровней в зоне проводимости превращается в набор дискретных квантовых уровней (фиг. 28). Каждый уровень отстоит от соседнего на энергию Н Ь.е1т с. Уровни между Ef и Ef — H Tielm ) сливаются в уровень Ef — и система оказывается [c.102]

Техника наблюдения была разработана Скиннером [39]. В первом приближении вероятность перехода электрона проводимости в связанное состояние пропорциональна плотности состояний. Поэтому форма рентгеновской L- (или М-) линии должна воспроизводить вид кривой, изображающей плотность состояний в зоне проводимости, а полная ширина линии должна давать энергетическую ширину зоны проводимости. На фиг. 39 показан вид кривой, полученной Скиннером для лития (или натрия). Как видно из графика, возникает трудность в определении того места, где исчезает хвост плотности состояний. Полученные таким путем значения ширины полосы заполненных состояний в зоне проводимости ( – – 0,4 эв) находятся в хорошем согласии со значениями, вычисленными на основе модели свободных электронов. [c.114]

В свободном атоме З -уровни сильно связаны (т. е. им соответствуют низкие энергии), поэтому, когда атомы сближаются и образуют кристалл, Зс -уровни будут уширяться меньше, чем 4s-ypoBHH (фиг. 47). Brf-зона пятикратно вырождена I = 2), и, поскольку ширина этой зоны AiE gd (фиг. 47) меньше, чем плотность состояний в Sd-зояе долж на быть гораздо больше, чем в зоне проводимости (фиг. 48). Если центр с -зоны расположен ненамного ниже верхнего края зоны проводимости и Зй-зона не заполнена (как это в действительности имеет место у переходных элементов), то можно ожидать, что уровень Ферми будет лежать в rf-зоне. Тогда плотность состояний на поверхности Ферми будет значительно больше, чем у нормальных металлов. Эти простые рассуждения качественно объясняют многие наблюдаемые свойства переходных металлов, зависяш.ие от плотности состояний, например их большую теплоемкость (разд. 6.2) и магнитную восприимчивость (разд. 6.3). [c.124]

Мы считаем, что в области I зона проводимости и валентная зона сильно перекрываются между собой. При очень высоких температурах (>1125°С) это не кажется неожиданным, поскольку при такой температуре запрещенная зона для ТЬТе, выведенная в гл. 7, 1, составляет примерно — 0,45 эВ. Однако в данном случае мы считаем, что плотность состояний в валентной зоне Nv) растет много быстрее, чем плотность состояний в зоне проводимости N ), возможно, вследствие Зс -состояний меди, так что при составе СигТе Ef) >N Ef), как показано на рис. 8.16. Это является причиной того, что S положительна. Большие температурные коэффициенты S и а объясняются [c.199]

В (2.40)(2.42) ыы уже перешли от описания распределения электронов по всей возможным энергетическим состояниям к описанию, в котором мы объединили группы электронов и группы незаполненных состояний в коллективы . Теперь, следовательно, нас интересует полное число электронов в зоне проводимости, дырок в валентной зопе, электронов в допорах и т. д. Концентрация частиц в таких коллективах может быть определена прп заданной зонной структуре (плотности состояний), температуре и концентрации дефектов. [c.90]

В полупроводниках при абсолютном нуле следует ожидать, что все состояния валентной зоны заняты, а все состояния зоны проводимости свободны. Поэтому можно сказать, что энергия Ферми лежит где-то внутри энергетической шели, разделяюшей обе разрешенные зоны. При конечной температуре вероятность заполнения не есть точно единица или точно нуль это означает, что некоторое малое число электронов оказывается возбужденным в зону проводимости, а в валентной зоне возникает небольшое число дырок. Для чистого (собственного) полупроводника оба числа должны быть равны, и это требование определяет энергию Ферми. В частности, если плотность состояний вблизи дна зоны проводимости такая же, как и вблизи края валентной зоны, то энергия Ферми должна лежать точно посередине шели между зонами. Если, с другой стороны, плотность состояний валентной зоны выше, тогда энергия Ферми должна лежать ближе к зоне проводимости. Обычно приходится определять энергию Ферми при тех температурах, которые нас интересуют, и в этом случае энергия Ферми сама оказывается зависящей от температуры (см. задачу 1 настоящей главы). [c.270]

Мелкие нримеси играют огромную роль в полупроводниках. Так как гпирпна запрегценной зоны ( обычно велика ( 1) по сравнению с кТ 300 К 0.025 эВ), термические забросы электронов из валентной зоны в зону проводимости из-за малой вероятности не приведут к заметной плотности свободных электронов и дырок. А энергии ионизации примесных атомов (4.10) сравнимы с/сТ, поэтому электроны или дырки связанных состояний могут с больпюй вероятностью переходить в непрерывный спектр (то есть в зону проводимости или валентную зону), определяя проводимость кристалла. [c.23]

Если же рассматривать электроны как вырожденный ферми-газ, то следует учитывать, что электроны заполняют все уровня в зоне проводимости вплоть до уровня Ферми хо = кТо (> кТ). Тепловая энергия, равная по порядку величины кТ, не может возбудить электронов с низколежащих уровней в силу принципа Паули. Поглотить энергию кТ и перейти на свободные уровни могут лишь электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми. Это обусловлено тем, что в вырожденном случае функция распределения Ферми резко падает от 1 до О в области шириной порядка кТ вблизи уровня Ферми. Таким образом, число электронов, которые могут испытать тепловое возбуждение, имеет величину порядка МТ1То, так что вклад их в атомную теплоемкость имеет порядок ( /г) КТ Но, т. е. пренебрежимо мал при Г плотность состояний дается формулой (4.9). получаем для хр [c.287]

В (юлупроводниках энергетические уровни валентной зоны и зоны проводимости лежат так тесно, что их обычно рассматривают как непрерывное распределение. В 8.2 плотность энергетических уровней около энергии е,2 в зоне проводимости была выражена как 5с ( г)-Эквивалентная плотность уровней около энергии в валентной зоне (81). Типичный вид этих функций плотности состояний был приве- [c.272]

В 4 приводятся выражения для коэффициента поглощения и скоростей спонтанного и вынужденного излучений в полупроводниках.

Эти выражения требуют вычисления матричного элемента и плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне. Для обычно встречающихся концентраций примеси в ак- тивных областях полупроводниковых лазеров плотность состояний в зоне проводимости н валентной зоие зависит от концентрации примеси,.что приводит к образованию хвостов зон внутри запрещенной зоны. Представление хвостов зон моделями Кейна [4] и Гальперина и Лэкса [5] дано в 5 этой главы. [c.133]

Рис. 3.4.1. а — зависимость плотности состояний в параболической зоне от энергии для = 0,07то п гпр = 0,5шо б —распределение дырок в валентной зоне н электронов в зоне проводимости для р = I 0 ° см и п = 1 см при Г = 297 К [c.151]

Эффективная плотность состояний – Справочник химика 21

Аналогично эффективная плотность состояний с энергией Еу в валентной зоне [c.388]

Величина Qn носит название суммы состояний (или суммы по состояниям). Применительно к данному случаю ее часто называют эффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Если все электроны находятся на дне зоны проводимости, то, как вытекает из уравнения (IV. 22), Qn=gon- Кроме того, при этом условии из уравнения (IV. 21) найдем [c.136]

Сравнение выражений (2.18) и (2.21) показывает, что оба приближения дают для химических потенциалов электронных дефектов качественно одинаковый результат — логарифмическую зависимость от концентраций. Отличие состоит в том, что в приближении широких зон (2.21) отсутствует вибрационный член, обусловленный изменением частот колебаний соседних атомов, что вполне естественно при нелокализованном характере распределения зарядов электронных дефектов. Вместо него в формулах (2.21) содержится член, определяемый эффективной плотностью состояний Ы и отражающий волновые свойства электронов. [c.64]

Аналогично для эффективной плотности состояний в валентной зоне Qp, входящей в уравнение (1У.

26), получим [c.186]

Алфрей [28] установил, что для решения многопараметрического уравнения состояния, подобного приведенному выше, необходимо определить более чем один структурный параметр, влияющий на поведение материала. Так, параметр эффективная плотность сшивания , используемый в кинетической теории упругости каучуков для оценки степени молекулярно-структурного сшивания, в данном случае недостаточно полно отражает состояние полимера, и требуется определение дополнительных структурных характеристик, например гибкости цепей, плотности энергии когезии И пр, [c.572]

Для того чтобы (419) имело вид, аналогичный (416), нужно ввести эффективную массу для плотности состояний [c.242]

Наиболее широко используется режим измерения туннельного тока при сканировании при постоянном потенциале. Так как локальное расстояние между острием и поверхностью меняется, то измеряют меняющийся туннельный ток. На практике измерения проводят таким образом, что острие движется вдоль линий постоянных электронных плотностей состояний при помощи регулировки расстояния между острием и образцом в каждой точке развертки так, чтобы туннельный ток сохранялся постоянным (режим исследования топографии при постоянном токе, ТПТ). Таким образом получают двумерное изображение топографии поверхности (строго говоря, электронных плотностей на уровне Ферми) с атомным разрешением. На рис. 10.5-3 приведено в качестве примера изображение поверхности кремния (111). Четко видны отдельные атомы на поверхности кремния и реконструированная картина поверхности (7×7 структура). Если на поверхности содержатся адсорбированные атомы, то локальная рабочая функция (эффективная высота барьера) изменяется, в результате для этих атомов туннельный ток увеличивается или уменьшается. [c.371]

Насыпная плотность является характеристическим числом, величина которого в значительной степени зависит от способа измерения, т. е. от методики подготовки порции материала, используемой в опытах. Однако в рабочем процессе дозирования сыпучий материал находится обычно под влиянием других внешних условий, чем те, которые имеют место при лабораторном определении насыпной плотности, Состояние сыпучего материала в верхней части воронки отличается от состояния материала в нижней ее части вследствие влияния различных внешних факторов, и в свою очередь в шнековых узлах почти в каждом случае эффективная насыпная плотность отличается от измеренной. Мешалки в воронке шнека-дозатора в зависимости от их формы, расположения, частоты и направления вращения [c.51]

Go(E—i , i, i)—функция Грина невозмущенного металла /эф и Уэф — эффективные параметры обмена п отталкивания на узел с учетом корреляционных эффектов. В объеме металлов ЛПС совпадает с определенной ранее объемной плотностью состояний пг,(Ер) и не зависит от положения узла i. Если узел i расположен на поверхности, то, вообще говоря, v g В этом [c.69]

В качестве примера такого подхода можно привести анализ эффективности металлических катализаторов в реакции гидрирования из работы [7]. В этой работе каталитическая активность металла связывается со способностью электронного газа (другими словами, электронов проводимости металла) экранировать кулоновское взаимодействие между электроном и протоном в атоме водорода. Установлено, что степень экранирования зависит, в конечном счете, от плотности состояний на границе Ферми и радиуса поверхности Ферми. По результатам анализа этих величин определяется каталитическая способность различных металлов (рис. П.З). [c.25]

Для анализа различных экспериментальных данных часто пользуются скалярной величиной эффективной массы плотности состояний (т и для электронов и дырок соответственно), которая в случае эллипсоидальных изоэнергетических поверхностей находится из соотношения [c.342]

Так как аморфные блочные полимеры или расплавы кристаллизующихся полимеров имеют плотность, лишь ненамного (10—15%) отличающуюся от плотности этих полимеров в кристаллическом состоянии, то молекулы в виде статистических клубков должны заметно проникать друг в друга, ибо эффективная плотность отдельной молекулы в объеме координационной сферы, как упоминалось выше, 3%. Следовательно, каждая макромолекула будет иметь контакты примерно с сотней себе подобных. [c.20]

Следующий вопрос относится к соотношению условий проявления полимерами узкого распределения аномалии вязкости и переходу в высокоэластическое состояние. Переход полимеров в это состояние на режимах неньютоновского течения следует ожидать для образцов полимеров с молекулярными весами порядка пяти их критических значений, когда еще не достигнута высокая однородность сегментной плотности. Мо кет ли снижение эффективной плотности зацеплений под влиянием деформирования отодвигать переход полимера в высокоэластическое состояние в сторону более высоких скоростей деформации Действительное положение в этой практически очень важной области молекулярных весов остается неясным. [c.159]

Плотность состояний эффективных масс [И] [c.388]

Недавно было показано [10], что эффективные массы дырок и электронов вдоль трех основных осей Ое и 51 отличаются между собой. Следовательно, для величин гпе и Шр, входящих в уравнения (36) и (37), необходимо принять соответствующее среднее значение. Эта усредненная величина была названа затем плотностью состояний эффективных масс. [c.388]

Поверхностный слой должен находиться в стеклообразном аморфном состоянии. Кристаллиты непроницаемы и только уменьшают эффективную плотность пор. Маленькие поры (сегментов полимерных цепей. Большие поры >20 являются областями, в которых мицеллы полностью не объединены (см гл. 7). [c.72]

Плотность состояний эффективных масс 11] [c.388]

Парциальный удельный объем равен обратной величине эффективной плотности растворенного вещества. При растворении вещества его конформация, вероятно, становится отличной от конформации в сухом состоянии или даже в другом растворителе. Главный источник ошибок при экспериментальном определении величины [c.93]

В (10.15) величина т — эффективная масса дырки в кристалле, в общем случае, существенно отличающаяся как от массы свободного электрона, так и от эффективной массы электрона в твердом теле. Функпия плотности состояний дырок в валентной зоне вблизи ее потолка, аналогично (10.7) и с учетом (10.15), будет иметь вид [c.251]

Основы теории реакций мономолекулярного распада были заложены около полувека тому назад, и в настоящее время этот класс химических реакций в целом относится к наиболее хорошо изученным. Объяснены основные качественные закономерности реакций и во многих случаях может быть предсказан правильный порядок величины константы скорости. Однако в теории мономолекулярного распада имеется еще и много нерешенных вопросов. К ним относятся оценка погрешности и уточнение расчетов плотности состояний, эффективных сечений активации и констант скорости спонтанного распада. [c.3]

Если в системе имеются дискретные уровни с энергиями Е (индекс Я, нумерует уровни), то, как известно, плотность состояний имеет дельтаобразные пики при Е = Е. Процедура усреднения приводит к размазыванию этих пиков, в результате чего функция р Е) становится непрерывной. Всегда, однако, можно ввести эффективный уровень (или уровни) Е, полагая по определению [c.20]

Как было отмечено выше, макронеоднородность системы, зависящая от ее седиментационной устойчивости, непосредственно связана со степенью разрущения структуры.

Достижение и поддержание уровня т]эфф т1ь отвечающее оптимальному динамическому состоянию дисперсной системы, вместе с тем определяет и потерю системой седиментационной устойчивости в соответствии с соотношениями (1.122—1.124). Поэтому речь может идти не об исключении седиментации, которая возможна, если Др >0 (где Др — эффективная плотность частиц за вычетом плотности среды), а о ее замедлении или снижении до минимума. [c.249]

Практически вссм диэлектрикам, в том числе и полимерным, присуще электретное состояние, т. е. такое, при котором иа поверхности диэлектрика возникают поверхностные заряды под влиянием вне1лних факторов, таких как электрическое поле, облучение электронами, нонами и др. Свойства полимерных электретов характеризуются эффективной плотностью зарядоз Оэф н временем жизни электрета т. Значения электретов [c.387]

Некоторые системы, обратимые в состоянии равновесия в ходе электролитического восстановления заметно поляризуются. Примером этого может служить превращение пятивалентного ванадия в четырехвалентный, а последнего—в трехвалентный, восстановление шестивалентного молибдена в пятивалентный, а пятивалентного—в трехаалентный, а также восстановление шестивалентного вольфрама в пятивалентный. Есть основание полагать, однако, что во всех указанных слу- чаях это необычное поведение следует приписать образованию окисных пленок на катоде. Вызывая частичную блокировку поверхности, эти окисные пленки увеличивают эффективную плотность тока, что приводит к росту потенциала [1]. Значительная поляризация, сопровождающаяся образованием окисных пленок, наблюдается также при восстановлении хромат-ионов в ионы трехвалентного хрома. Не установлено, однако, в какой мере эта система являете обратимой. [c.671]

Первый максимум плотностей тока обмена на бронзах Na WOs приходится примерно на состав, при котором бронза, как оказалось, является наиболее эффективным катализатором для рекомбинации атомарного кислорода [216] (рис. 43). Из этого следует, по-видимсму, что состав х = 0,4 соответствует некоторой оптимальной прочности связи между основой и атрмом кислорода [201]. Второй максимум на рис. 43 связан с изменениями в электронных свойствах. Вест с сотрудниками [217] указывал, что внезапное увеличение плотности состояний на уровне Ферми происходит в интервале 0,7 Точка перегиба или максимумы на графиках, представляющих зависимости сопротивления и коэффициента Холла от X, наблюдаются около х = 0,75 [218]. В области 0,6 электродной реакции Fe + -f Рез+ [204] и минимум г о для реакции водородного электрода [142]. [c.436]

Рассмотренный канал поглощения света, однако, не единствен. Для ряда других колебательно-вращательных уровней с невоз- ужденной или слабо возбужденной оптически активной модой эффективные сечения фотопоглощения значительно меньше резонансного сечения. Тем не менее они не являются пренебрежимо малыми. С другой стороны, в достаточно сильно возбужденной многоатомной молекуле плотность состояний настолько велика, что всевозможные небольшие уширения уровней превращают спектр в квазинепрерывный, и среди переходов с каждого верхнего уровня всегда имеются почти резонансные, легко индуцируемые излучением. Из перечисленных радиационных переходов слагается многоступенчатый процесс радиационного мономолекулярного распада, для которого не требуется перераспределения энергии путем столкновений. [c.155]

Согласно работе [4], заменим теперь параметры з и Ь в формуле (УП1.5) на эффективные, зависящие от температуры параметры х= =5(Г) и Ь=Ь Т). Они определяются из следующего требования энергетическая зависимость числа состояний 1 (Е) активированного комплекса и плотность состояний N (Е) активной молекулы, представленные формально в виде классических выражений, должны приводить к правильной (с точки зрения теории РРКМ или эксперимента) температурной зависимости о и Другими словами, 5 нЪ определяются по константам скорости реакции в пределах высоких и низких давлений, и затем эти параметры используются в формуле (VIII.5) для описания промежуточной области. [c.369]

Перейдем теперь к жидкой фазе. Согласно идее обобщенных ячеечных моделей, часть ячеек, будет свободна [1, 3], Это обстояте-льство приведет к тому, что эффективная плотность подсистемы, описыв аемой занятыми” ячейками, возрастет. Т. к. наибольший интерес представляют расчеты для высоких плотностей, незначительно отличающихся от плотности при плавлении, то примем, что количество свободных ячеек в жидкой фазе остается постоянным и равным его числу в точке фазового перехода. Из данных, полученных методом Монте-Карло для дисков, имеем 0,94 т [2]. Учет т, н. коллективной энтропии [1, 3] в данном случае можно не проводить, т. к. изучается разность химических потенциалов примеси и основного вещества, находящихся в одном и том же агрегатном состоянии. Наконец, отметим еще одно важное свойство жидкой фазы, проистекающее из ее дьфочной структуры. Если в кристаллической фазе, как уже отмечалось при расчете энергии упругих деформаций, координаты были независимы, то в [c.15]

эффективная плотность состояний (на 1 см3) в зоне проводимости).

Электроника NС – эффективная плотность состояний (на 1 см3) в зоне проводимости).

просмотров – 391

Величина N_д представляет собой концентрацию доноров. Из выражения видно, что уровень Ферми лежит ниже уровня дна зоны проводимости. Произведение концентраций электронов и дырок равно

Отсюда следует важный вывод о том, что произведение концентраций базовых и небазовых носителей заряда в примесном полупроводнике постоянно при заданной температуре и не зависит

от характера и количества содержащихся в нём примесей . Это соотношение часто используется в дальнейшем.

2.6.2. Полупроводник типа – p, или дырочного типа.

Введём теперь в германий примесь трёхвалентного индия.

В ковалентной связи будут участвовать только три валентных электрона индия, а связь с четвёртым соседним атомом германия будет неукомплектована (вакантна). Вакантное место может быть занято электроном из соседних атомов, где при этом образуется дырка.

Атом индия окажется ионизированным отрицательно. Изменяя концентрацию вводимых примесей, можно в широких пределах регулировать концентрацию дырок, образующихся при этом.

В таком полупроводнике концентрация дырок будет значительно преобладать над концентрацией электронов обусловленных термогенерацией пар электрон-дырка собственного полупроводника. Следовательно ток в таком примесном полупроводнике будет в основном обусловлен дырками. Примеси обусловливающие дырочную проводимость называются акцепторными, а сам полупроводник принято называть дырочным или

полупроводником p – типа. Энергетические уровни атомов акцепторов в p полупроводнике расположены вблизи потолка валентной зоны и при температуре отличной от нуля они полностью заняты электронами валентной зоны на энергетических уровнях которой образуются дырки.

Образовавшиеся дырки, концентрация которых на несколько порядков превышает концентрацию носителей заряда в собственном полупроводнике, обусловливают в основном дырочную проводимость такого полупроводника.

Как видно из рисунка, уровень Ферми p полупроводника смещён ближе к валентной зоне.

Концнетрация электронов и дырок в полупроводнике p-типа также рассчитывается на основании статистики Ферми- Дирака.

– для дырок,

-для электронов,

где W_Fp– уровень Ферми в полупроводнике p – типа.

(N_V– эффективная плотность состояний в валентной зоне (на 1 см³вещества).

Величина N_апредставляет собой концентрацию акцепторов. Так же как и для n – полупроводника, для полупроводников типа p справедливо равенство .

Это равенство означает, что произведение концентраций электронов и дырок при данной температуре T для данного полупроводника постоянно и не зависит от характера и количества примесей.

В силу симметрии выражений, определяющих концентрацию базовых и небазовых носителей заряда в примесных полупроводниках, независимо от типа проводимости, их можно записать в следующем виде:

– для дырок, -для электронов,

где W_F – уровень Ферми, определяемый для соответствующего типа полупроводника.

Поделив эти выражения друг на друга, приняв при этом n = n_i²/ p и p = n_i²/ n, можно привести

их к следующему виду: ,

где W_Fi = (W_c – W_v) / 2 – уровень Ферми в собственном полупроводнике, а W_F – уровень Ферми в соттветствующем примесном полупроводнике.

Учитывая, что энергия электрона (дырки) W = q·φ, последние выражения для дырок и электронов соответственно можно привести к виду:

где: φ_F_i – потенциал Ферми в (вольтах) собственного полупроводника, φ_F – потенциал Ферми в (вольтах) соответствующего собственного полупроводника,

φ_T = k·T/q – температурный потенциал (в вольтах). При комнатной температуре

В некоторых учебниках, потенциал Ферми в собственном полупроводнике – φ_Fi , заменяют потенциалом середины запрещённой зоны примесного полупроводника – φ_E_, что практически одно и то же, т.к. φ_Fi ≈ φ_E.

Тогда: ,

Из этих выражений непосредственно следует:

φ_Fn = φ_E + φ_T · ln(n / n _i ) – для полупроводников n – типа уровень Ферми смещён от середины запрещённой зоны вверх по диаграмме к свободной зоне на величину ln(n / n _i) и

φ_Fp = φ_E – φ_T · ln(p / n _i ) – для полупроводников p – типа уровень Ферми смещён от середины запрещённой зоны вниз по диаграмме к валентной зоне на величину ln(p / n _i) .

2.7. Электропроводность примесных полупроводников.

Так же как и для собственного полупроводника, проводимость примесного полупроводника, независимо от его типа : σ = q·n·μ_n + q·p·μ_p .

Принимая во внимание, что в электронном полупроводнике n>>p, σ_n ≈ q·n·μ_n , а в дырочном полупроводнике p>>n, σ_p ≈ q·n·μ_p, проводимость примесных полупроводников в основном определяется концентрацией базовых носителей заряда.

Пренебрегая в данном случае концентрацией небазовых носителей, будем остерегаться заблуждения относительно их роли в физических процессах, имеющих место в полупроводниковых приборах.

2.7.1. Зависимость электропроводности примесных полупроводников от температуры.

Зависимость проводимости σ от температуры определяется двумя факторами:

– зависимостью концентрации носителей заряда от температуры, а также зависимостью подвижности носителей заряда μ_nи μ_p от температуры. В области низких температур подвижность зарядов пропорциональна μ → T ^3/2, а при высоких температурах μ→(1/T)^3/2.

2.8. Электрический ток в примесном полупроводнике

Перемещение носителей заряда – электронов и дырок в полупроводнике вызывается двумя причинами.

1) Направленное перемещение под действием электрического поля, называемое дрейфом носителей заряда. Ток обусловленный дрейфом носителей заряда принято называть дрейфовым.

j_n_др= q·n·μ_n·E – для электронного тока, j_p_др= q·p·μ_p·E – для дырочного тока.

2) Направленное перемещение носителей заряда вследствие разности концентраций зарядов

(дырок или электронов) в смежных областях полупроводника. Ток, обусловленный

избыточностью заряда в некоторой ограниченной области полупроводника, принято называть диффузионным, а перемещение носителей заряда, стремящихся равномерно распределиться в объёме полупроводника, – диффузией.

j_n_диф.= q·D_n·grad n – для электронов, j_p_диф.= -q·D_p·grad p – для дырок.

Здесь D_n и D_p – коэффициенты диффузии электронов и дырок соответственно. D_n,p = φ_T·μ_n,p.

Полная плотность электронного и дырочного тока определяется суммой двух составляющих: – полный электронный ток

и – полный дырочный ток

Как правило, нас интересует движение носителей заряда в направлении одной из осей координат.

Обозначив это направление через x, для одномерной модели получим:

j_n = j_n_др + j_n_диф = q·n·μ_n·E + q·D_n· д n/dx -для электронов, j_p = j_p_др + j_p_диф = q·p·μ_p·E – q·D_p·д p/dx -для дырок.

Как электроны, так и дырки всегда движутся в направлении убывания концентрации носителей заряда, в связи с этим если выбранное положительное направление оси х совпадает с градиентом, то электронный ток будет иметь положительное направление, а дырочный ток отрицательное. Этим обясняется знак минус перед диффузионной составляющей дырочного тока в приведённых выше выражениях для плотностей токов.

3. КОНТАКТ ДВУХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ РАЗЛИЧНОГО ТИПА ПРОВОДИМОСТИ.

3.1.Электронно – дырочный переход.

Под идеальным контактом двух полупроводников принято понимать такое их соединение, при котором:

1) – граница их раздела является абсолютно плоской.

2) – граница раздела не содержит вкраплений других элементов и дефектов кристаллической решётки, ᴛ.ᴇ. кристаллическая решётка одного полупроводника непрерывно переходит в кристаллическую решётку другого.

Так как основные носители заряда по обе стороны границы раздела имеют различные знаки, с одной стороны границы раздела возникает градиент концентрации дырок, а с другой электронов. Следовательно возникнет диффузия электронов из n полупроводника в p полупроводник и диффузия дырок из p области в n область, ᴛ.ᴇ. через границу раздела потечёт диффузионный ток.

Уход базовых носителей заряда, в первую очередь из близлежащих к границе раздела областей полупроводников, “оголяет” ионы атомов доноров и акцепторов, положительные в n и отрицательные в p полупроводнике, заряд которых ранее компенсировался основными носителями. Нескомпенсированные объёмные заряды по обе стороны границы раздела полупроводников создают электрическое поле напряжённостью E. Это поле препятствует дальнейшей диффузии базовых зарядов, но создаёт возможность дрейфа небазовых носителей заряда – дырок из n области в p область и электронов из p области в n область.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, через границу раздела полупроводников текут две составляющие диф-фузионного тока базовых носителей заряда, направленные из p области в n область, а также две составляющие дрейфового тока небазовых носителей заряда, направленные из n области в p область. При этом “оголяются” всё более удалённые по обе стороны от границы раздела ионы, ᴛ.ᴇ. их объёмный заряд растёт.

Область объёмных зарядов на границе раздела полупроводников разного типа проводимости, обеднённая основными носителями заряда, принято называтьp-n переходом.

По мере увеличения объёмного заряда, а следовательно и напряжённости поля E, диффузионный ток уменьшается, а дрейфовый ток возрастает. Этот процесс продолжается до тех пор, пока лишь незначительная часть базовых носителей заряда, имеющих энергию, достаточно большую, для преодоления тормозящего действия поля, сможет перемещаться(прорываться) через границу раздела.

Когда диффузионный ток таких носителей заряда уравновесится, растущим по мере увеличения объёмного заряда, током небазовых носителей заряда, наступает состояние динамического равновесия. В этом состоянии токи в смежные области полупроводников уравновешивают друг друга, объёмный заряд перестаёт расти, суммарный ток через границу раздела равен нулю, т. к. внешняя цепь разомкнута.

Итак: j_p_др + j_n_др + j_p_диф + j_n_диф = 0.

Эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Электротехника Эффективная плотность состояний в валентной зоне.

просмотров – 267

Для того чтобы рассчитать равновесные концентрации электронов n₀ и дырок p₀крайне важно рассчитать значения интеграла Ферми-Дирака (2.52) и (2.56), что представляет значительные трудности для всего диапазона положения уровня Ферми в зонах η. Аналитические решения для интеграла Ферми-Дирака существуют только для крайних случаев – невырожденного и сильно-вырожденного полупроводника.

Рассмотрим три случая.

Первыйсоответствует невырожденному примесному полупроводнику (рис. 2.7, область A, рис. 2.8).

Принято считать, что полупроводник не вырожден, если:

или (2.57)

Это означает, что в невырожденном донорном полупроводнике уровень Ферми лежит ниже дна зоны проводимости по крайней мере на несколько кТ. В этом случае для электронов, находящихся в зоне проводимости и обладающих энергией , в функции распределения Ферми-Дирака экспоненциальный член будет намного больше единицы, в связи с этим

(2. 58)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, в невырожденном полупроводнике носители заряда подчиняются статистике Больцмана. В соответствии с этим интеграл Ферми запишется в виде:

(2.59)

Равновесные концентрации электронов n₀ и дырок p₀ для случая невырожденного полупроводника соответственно равны (рис. 2.7 (А), рис. 2.8):

(2.60)

(2.61)

Физический смысл параметров N_c и N_v – плотность состояний в зоне проводимости и валентной зоне. Формулы для N_c и N_v определяют пределы заполнения энергетических уровней вблизи дна зоны проводимости и валентной зоны.

Зная концентрацию свободных носителей заряда можно оценить положение уровня Ферми в запрещенной зоне. Для полупроводника n-типа проводимости при комнатной температуре эту зависимость можно записать в виде:

(2.61а)

В случае если уровень Ферми совпадает с дном зоны проводимости (ᴛ.ᴇ. E_F=E_C), тогда из формулы 2. 60 следует, что n_o=N_C. Т.е. при легировании полупроводника донорной примесью до концентрации n_o~ N_C – уровень Ферми приближается к краю запрещенной зоны (аналогично – для легирования акцепторной примесью). Полупроводник является вырожденным, если уровень Ферми расположен вблизи границ разрешенной зоны (в интервале ± несколько kT от E_C или E_V) .

В Si при Т=300 К: N_c=2.8*10¹⁹cm^-3N_v=10¹⁹cm^-3

Второй случай – сильно вырожденный примесный полупроводник(рис. 2.7, область C, рис.2.9.

Донорный полупроводник считается сильно вырожденным при:

(2.62)

ᴛ.ᴇ. когда уровень Ферми расположен в зоне проводимости по крайней мере на 5кТ выше Е_c. Условие (2.62) действует и при очень низкой температуре. В случае если kT à 0, то η₀ à ∞ (здесь η₀– приведенный уровень Ферми при нулевой температуре). В этом случае в выражении (2.52) знаменатель = 1, а бесконечный верхний предел интегрирования можно заменить η₀. Тогда равновесная концентрация электронов в сильно вырожденном донорном полупроводнике будет равна:

(2.63)

При этом концентрация дырок в сильно-вырожденном полупроводнике n-типа проводимости задается формулой (2.61)!!!

Зная концентрацию свободных носителей заряда можно определить положение уровня Ферми:

(2.63а)

Равновесная концентрация дырок в сильно вырожденном акцепторном полупроводнике запишется следующим образом:

, (2.64)

При этом концентрация электронов находится из соотношения (2.60).

Из равенств (2.63) и (2.64) следует, что концентрация свободных носителей заряда в сильно вырожденном полупроводнике не зависит от температуры. Она определяется положением уровня Ферми и величиной эффективной массы. При этом, чем меньше эффективная масса носителей заряда, тем соответственно и меньше их концентрация, при которой наступает вырождение.

E E_F E_C E_D E_g E_V

E N(E) N(E)

E E_F E_C E_V F(E)

E E_F E_C E_V n₀; p₀

Рис. 2.9. Зонная диаграмма, плотность состояний, распределение Ферми-Дирака и концентрация носителей заряда в сильно-вырожденном полупроводнике n-типа проводимости при термодинамическом равновесии.

Третий случай – вырожденный полупроводник (рис. 2.7, область В).

При расположении уровня Ферми вблизи границы зон (зона проводимости/запрещенная зона) -1<η<5, точного (аналитического) выражения для интеграла Ферми-Дирака не существует. В этом случае используют либо табулированные (численно-рассчитанные) значения интеграла Ферми-Дирака, либо применяют полуэмпирические формулы, к примеру, в виде. Тогда зависимость n₀ в зоне проводимости от положения уровня Ферми может быть представлена как:

(2.65)

Вместе с тем, расчет концентрации носителей по формуле (2.65) может давать существенную погрешность, в связи с этим на практике, как правило, используют специальные таблицы интегралов Ферми-Дирака. Зависимость интеграла Ферми-Дирака F_1/2 от η при расположении уровня Ферми вблизи зоны проводимости в интервале E_C ± 6 kT представлена на рис. 2.6.

ЗАХВАТ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА – это… Что такое ЗАХВАТ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА?

ЗАХВАТ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

ЗАХВАТ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА: в полупроводниках – переход электрона из зоны проводимости на примесный уровень в запрещённой зоне полупроводника либо с примесного уровня в валентную зону (последний случай удобнее рассматривать как переход дырки из валентной зоны на примесный уровень; см. Зонная теория). Скорость r_э 3. н. з. из зоны проводимости пропорциональна концентрации п носителей в зоне, концентрации N_t примесных уровней и вероятности того, что данный уровень с энергией E_t не заполнен:
r_э = a_эnN_t [1-f(E_t)].
Здесь f(E_t) – вероятность заполнения данного уровня, a_э – коэф. захвата, связанный с эффективным сечением захвата S соотношением:
a_э = Sv_T,
где v_T – ср. скорость теплового движения носителей заряда. g_э =b_эN_tf (E_t).
Согласно детального равновесия принципу, в состоянии термодинамич. равновесия g_э=r_э, откуда b_э=a_эn₁. где n₁=(g₀/g_l)N_cexp(-I/kT), g₀, g_l– статистич. веса соответственно пустого и заполненного уровней, N_c – эффективная плотность состояний в зоне проводимости, I – энергия ионизации примесного уровня. Суммарная скорость захвата электронов равна:
R_э = r_э–g_э =a_эN_t[ п(1-f)-n₁f].
Аналогичные ф-лы имеют место для захвата дырок, характеризуемого соответствующими величинами r_д, a_д, g_д, R_д.3. н. з. может явиться первым этапом процесса рекомбинации носителей заряда через примесные центры: захват электрона из зоны проводимости и последующий захват дырки на тот же уровень (либо наоборот). Если для данного уровня a_э>>a_д, то электрон, захваченный на этот уровень, прежде чем рекомбинировать с дыркой, может быть много раз выброшен обратно в зону проводимости и захвачен снова. Такие примесные уровни наз. уровнями прилипания или ловушками для электронов; при a_д>>a_э имеем уровни прилипания для дырок. Уровни, для к-рых a_э~a_д, наз. уровнями рекомбинации. При захвате обоих носителей заряда на уровни прилипания с низким темпом выброса (малые b_э и b_д) неравновесное состояние может сохраняться очень долго, особенно при низких темп-рах. Лит.: Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г., Физика полупроводников, М., 1977; Аут И., Г е н ц о в Д., Герман К., Фотоэлектрические явления, пер. с нем., М., 1980. Э. М. Эпштейн.

ЗАТЯГИВАНИЕ ЧАСТОТЫ
ЗАХВАТЫВАНИЕ ЧАСТОТЫ

Полезное

Смотреть что такое “ЗАХВАТ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА” в других словарях:
ИНЖEКЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА — увеличение концентрации носителей заряда в полупроводнике (диэлектрике) в результате переноса носителей током из областей с повыш. концентрацией (металлич. контактов, гетеропереходов )под действием внеш. электрич. поля. И. н. з. приводит к… … Физическая энциклопедия
ЭЛЕКТРЕТЫ — диэлектрики, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внеш. воздействия, вызвавшего поляризацию, и создающие электрич. поле в окружающем пр ве (электрич. аналоги пост. магнитов). Если в во, молекулы к рого обладают дипольным… … Физическая энциклопедия
ГОСТ 22622-77: Материалы полупроводниковые. Термины и определения основных электрофизических параметров — Терминология ГОСТ 22622 77: Материалы полупроводниковые. Термины и определения основных электрофизических параметров оригинал документа: 11. Акцептор Дефект решетки, способный при возбуждении захватывать электрон из валентной зоны Определения… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
ПОЛУПРОВОДНИКИ — широкий класс в в, характеризующийся значениями уд. электропроводности s, промежуточными между уд. электропроводностью металлов s=106 104 Ом 1 см 1 и хороших диэлектриков s=10 10 10 12 Ом 1см 1 (электропроводность указана при комнатной темп ре). … … Физическая энциклопедия
ФОТОПРОВОДИМОСТЬ — фоторезистивный эффект, увеличение электропроводности полупроводника под действием электромагн. излучения. Впервые Ф. наблюдалась в Se У. Смитом (США) в 1873. Обычно Ф. обусловлена увеличением концентрации подвижных носителей заряда под действием … Физическая энциклопедия
ПОЛУПРОВОДНИКИ — в ва, характеризующиеся увеличением электрич. проводимости с ростом т ры. Хотя часто П. определяют как в ва с уд. электрич. проводимостью а, промежуточной между ее значениями для металлов (s ! 106 104 Ом 1 см 1) и для хороших диэлектриков (s ! 10 … Химическая энциклопедия
РЕКОМБИНАЦИОННЫЕ ЦЕНТРЫ — дефекты или примесные атомы (ионы) в кристаллич. решётке, на к рых происходит рекомбинация электронно дырочной пары (см. Рекомбинация носителей заряда). Процесс осуществляется путём последоват. захвата электрона и дырки центром. Энергетич. уровни … Физическая энциклопедия
ГОРЯЧИЕ ЭЛЕКТРОНЫ — (горячие дырки), подвижные носители заряда в тв. проводнике, энергетич. распределение к рых заметно отличается (в сторону больших энергий) от равновесного распределения, определяемого Ферми Дирака статистикой или Больцмана статистикой. Носители… … Физическая энциклопедия
АКУСТОЭЛЕКТРОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ — (АЭВ), вз ствие УЗ волн (с частотой =107 1013 Гц) с эл нами проводимости в металлах и ПП; обусловлено изменением внутрикристаллического поля, при деформации решётки кристалла под действием распространяющейся УЗ волны. АЭВ явл. частным случаем… … Физическая энциклопедия
ГОЛДБЕРГЕРА – ТРИМЕНА СООТНОШЕНИЕ — формула, связывающая константу распада и пион нуклонную константу связи : mNgA=FpgpN , (*) где mN масса нуклона, g А=1,18 константа аксиально векторной связи в … Физическая энциклопедия
Энергия ферми формула для металлов. Связь энергии Ферми и концентрации электронов проводимости
Энергия Фе́рми (EF) системы невзаимодействующих фермионов – это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в ее основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми – одно из центральных понятий физики твёрдого тела. Физический смысл уровня Ферми: вероятность попадания частицы на уровень Ферми составляет 0,5 при любых температурах. Фермио́н (от фамилии физика Энрико Ферми) – по современным научным представлениям: элементарные частицы, из которых складывается вещество. К фермионам относят кварки, электрон, мюон, тау-лептон, нейтрино. В физике, частица (или квазичастица) с полуцелым значением спина. Фермионы подчиняются статистике Ферми – Дирака: в одном квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули). Волновая функция системы одинаковых фермионов антисимметрична относительно перестановки двух любых фермионов. Квантовая система, состоящая из нечётного числа фермионов, сама является фермионом (например, ядро с нечётным массовым числом A; атом или ион с нечётной суммой A и числа электронов)
Примеры фермионов: кварки (они формируют протоны и нейтроны, которые также являются фермионами), лептоны (электроны, мюоны, нейтрино), дырки (квазичастицы в полупроводнике). Принцип запрета Паули ответственен за стабильность электронных оболочек атомов, делая возможным существование сложных химических элементов. Он также позволяет существовать вырожденной материи под действием высоких давлений (нейтронные звёзды).Поверхность Ферми – поверхность постоянной энергии в k-пространстве, равной энергии Ферми в металлах или вырожденных полупроводниках. Знание формы поверхности Ферми играет важную роль во всей физике металлов и вырожденных полупроводников, так как благодаря вырожденности электронного газа транспортные свойства его, такие как проводимость, магнетосопротивление зависят только от электронов вблизи поверхности Ферми. Поверхность Ферми разделяет заполненные состояния от пустых при абсолютном нуле температур. Рис. 1. Заполнение энергетических зон при абсолютном нуле температуры: а – в диэлектриках; б – в металлах; разрешенные зоны заштрихованы, заполненные зоны или их части заштрихованы дважды. Рис. 2. Заполнение энергетических зон в полупроводнике; показаны только валентная зона и зона проводимости; чёрные кружочки – электроны в зоне проводимости, белые – дырки в валентной зоне.
15. Собственный полупроводник или полупроводник i-типа (англ. intrinsic – собственный) – это чистый полупроводник, содержание посторонних примесей в котором не превышает 10 −8 … 10 −9 %. Концентрация дырок в нём всегда равна концентрации свободных электронов. Примеры: Si, Ge Полупроводник без примесей называют собственным полупроводником или полупроводником i-типа . Он обладает собственной электропроводностью , которая складывается из электронной и дырочной. Если к полупроводнику не приложено напряжение, то электроны и дырки проводимости совершают хаотическое движение и никакого тока, разумеется, нет. Под действием разности потенциалов в полупроводнике возникает электрическое поле, которое ускоряет электроны и дырки и сообщает им еще некоторое поступательное движение, представляющее собой ток проводимости . Движение носителей заряда под действием электрического поля иначе называется дрейфом носителей , а ток проводимости – током дрейфа i др . Полный ток проводимости складывается из электронного и дырочного токов: i др = i nдр + i pдр Индексы n и p соответственно обозначают электронный и дырочный вклады. Удельная проводимость зависит от концентрации носителей и от их подвижности. В полупроводниках при повышении температуры вследствие интенсивной генерации пар носителей концентрация подвижных носителей увеличивается значительно быстрее, нежели уменьшается их подвижность, поэтому с повышением температуры проводимость растет. Для изготовления полупроводников применяют в основном германий и кремний, а также некоторые соединения галлия, индия и пр. Для полупроводников характерен отрицательный температурный коэффициент электрического сопротивления. При возрастании температуры сопротивление полупроводников уменьшается, а не увеличивается, как у большинства твердых проводников. Кроме того электрическое сопротивление полупроводников очень сильно зависит от количества примесей (и от типа примесей тоже), а также таких внешних воздействий, как свет, электрическое поле, ионизирующее излучение и т. д. (на этом основан принцип действия фотодиодов, фототранзисторов, магнитоуправляемых приборов и т. п.) Принцип работы полупроводниковых приборов связан с тем, что в полупроводниках существует электропроводность двух типов – электронная и дырочная. Электронная электропроводность характерна для металлов и обусловлена перемещением электронов проводимости. При обычных рабочих температурах в полупроводниках всегда имеются электроны проводимости, которые очень слабо связаны с ядрами атомов и совершают беспорядочное тепловое движение (колебания) между атомами кристаллической решетки. Эти электроны под действием разности потенциалов могут начать двигаться в определенном направлении. Это движение и есть электрический ток. Полупроводники обладают также дырочной электропроводностью, которая редко наблюдается в металлах. Электроны и дырки, которые могут перемещаться, а потому создавать электропроводность, называются подвижными носителями заряда или просто носителями заряда. Весь этот процесс принято называть генерация пар носителей заряда, то есть возникают пары электрон проводимости-дырка проводимости. Вследствие того, что электроны и дырки совершают хаотическое движение, обязательно происходит и процесс, обратный генерации пар носителей. Электроны проводимости снова занимают свободные места в валентной зоне (падающий сверху кружочек на рисунке), то есть объединяются с дырками. Такое исчезновение пар носителей называется рекомбинацией носителей заряда. Процессы генерации и рекомбинации всегда происходят одновременно. Рекомбинация ограничивает возрастание пар носителей, и при каждой данной температуре устанавливается определенное число электронов и дырок проводимости, то есть они находятся в состоянии динамического равновесия.Так же следует отметить, что проводимость чистых полупроводников, значительно ниже примесных. Это связанно с тем, что свободных носителей заряда в примесных значительно больше.
16. Примесные полупроводники Примесный полупроводник – это полупроводник, электрофизические свойства которого определяются, в основном, примесями других химических элементов. Процесс введения примесей в полупроводник называется легированием полупроводника, а сами примеси называют легирующими. Для равномерного распределения легирующей примеси в объеме полупроводника легирование осуществляется в процессе выращивания монокристалла полупроводника из жидкой или газообразной фазы. Локальное легирование части объема полупроводника, например, приповерхностной области, производится методом диффузии при сильном нагреве полупроводника или низкотемпературными методами ионного легирования. Роль примесей могут играть и всевозможные дефекты структуры кристаллической решетки полупроводника, такие как вакансии, междуузельные атомы, дислокации. При малой концентрации примесей (10 21 …10 23 м -3) примесные атомы создают дополнительные дискретные энергетические уровни в запрещенной зоне полупроводника. Такой полупроводник называется невырожденным. Повышение концентрации примесных атомов в полупроводнике до 10 24 . ..10 25 м -3 сопровождается появлением в запрещенной зоне полупроводника вместо дискретных уровней зон примесных уровней. Такие полупроводники называют вырожденными. Различают два основных вида примесей, которые используются для преднамеренного легирования полупроводников и создающих преимущественно электронный или дырочный тип проводимости. Примеси, введение которых в полупроводник создает электронный тип проводимости, называются донорными. Примесь, создающая дырочную проводимость, называется акцепторной. Если к полупроводнику n-типа приложить электрическое поле, то каждый отрицательный носитель приобретет в этом поле ускорение, набирая скорость до тех пор, пока не рассеется на одном из донорных узлов. Это означает, что носители, которые обычно движутся случайным образом, имея при этом тепловую энергию, начнут в среднем повышать свою скорость дрейфа вдоль линий электрического поля, вызвав ток через кристалл. Скорость дрейфа, как правило, по сравнению с типичными тепловыми скоростями очень мала, так что можно, прикидывая величину тока, принять, что от столкновения к столкновению среднее время странствий носителя постоянно. Допустим, что эффективный электрический заряд отрицательного носителя равен q n . Сила, действующая на носитель в электрическом поле E, будет равна q n E. В гл. 43, §3 (вып. 4) мы как раз подсчитывали среднюю скорость дрейфа в таких условиях и нашли, что она равна Fτ/m, где F – сила, действующая на заряд; т – среднее время свободного пробега между столкновениями, а т – масса. Вместо нее надо поставить эффективную массу, которую мы подсчитывали в предыдущей главе, но поскольку нас интересует только грубый расчет, то предположим, что эта эффективная масса во всех направлениях одинакова. Мы ее здесь обозначим т n . В этом приближении средняя скорость дрейфа будет равна
Мы видим, что плотность тока пропорциональна электрическому полю; такие полупроводниковые материалы подчиняются закону Ома. Коэффициент пропорциональности между j и E, или проводимость σ, равен
Для материалов n-типа проводимость в общем не зависит от температуры. Во-первых, общее число основных носителей N n определяется главным образом плотностью доноров в кристалле (пока температура не настолько низка, чтобы позволять атомам захватить чересчур много носителей), а, во-вторых, среднее время от соударения к соударению, τ n , регулируется главным образом плотностью атомов примеси, а она, ясное дело, от температуры не зависит. Те же рассуждения можно приложить к веществу р-типа, переменив только значения параметров, которые появляются в (12.7). Если в одно и то же время имеется сравнимое количество отрицательных и положительных носителей, то вклады носителей обоего рода надо сложить. Полная проводимость определится из Для очень чистых веществN р и N n примерно равны. Они будут меньше, чем у материалов с примесями, так что и проводимость будет меньше. Кроме того, они будут резко меняться с температурой (по закону е –Е щели /xТ ), так что проводимость с температурой может меняться чрезвычайно быстро.
Понятия энергии Ферми и уровня Ферми были введены ранее для металлов. В полупроводниках функция распределения электронов по состояниям имеет тот же вид, что и в металлах. Энергия Ферми в полупроводниках имеет тот же физический смысл: энергия Ферми – это максимально допустимая энергия, ниже которой при нулевой абсолютной температуре все энергетические уровни заняты [f(E) = 1], а выше которой все уровни пусты [f(E ) = 0]. Для полупроводников, у которых при абсолютном нуле валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости совершенно свободна, функция распределения имеет разрыв. Следовательно, уровень Ферми в полупроводнике должен лежать при абсолютном нуле в запрещенной зоне.
Уровень Ферми в собственном полупроводнике
Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны (), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку. Приравнивая равенства (17) и (19), получим
Разрешая последнее равенство относительно Е F , получим
Если эффективные массы электронов и дырок равны [ = ,то = 0] и уровень Ферми собственного полупроводника при любой температуре располагается посередине запрещенной зоны.
Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении (23). Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике с изменением температуры схематически показано на рис. 5.
Для большинства полупроводников эффективная масса дырки не намного превышает эффективную массу электрона и смещение уровня Ферми с изменением температуры незначительно. Однако у антимонида индия (InSb) , а ширина запрещенной зоны невелика (E g = 0,17 эВ), так что при Т > 450K уровень Ферми входит в зону проводимости. При этой температуре полупроводник переходит в вырожденное состояние.
Рис. 5. Зависимость уровня Ферми от температуры в собственном полупроводнике при различных соотношениях эффективных масс электронов и дырок.
1 – ; 2 – ; 3 – .
Уровень Ферми в примесных полупроводниках
Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде
здесь N d – концентрация донорных уровней,n d – концентрация электронов на донорных уровнях. Концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций дырок в валентной зоне и концентрации положительно заряженных ионов доноров (последняя, очевидно, равнаN d –n d ).
Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней N d на функцию распределения Ферми-Дирака:
При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение (24) было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы (25).
Уравнение (26) ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (26) имеет вид
Рисунок 6 Температурные зависимости положения уровня Ферми в донорном (а) и акцепторном (б) полупроводниках.
Из уравнения (27) следует, что при абсолютном нуле температуры энергия Ферми донорного полупроводника находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. Температурная зависимость положения уровня Ферми определяется третьим членом в уравнении (27), который меняет знак с изменением температуры. Поэтому уровень Ферми с повышением температуры сначала смещается к зоне проводимости, а затем – к валентной зоне (рис. 6а).
Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. 6б.
3.1. Статистическое описание коллектива частиц.
Функция распределения частиц по состояниям. Фермионы и бозоны
Согласно результатам зонной теории твердых тел электроны в кристаллах удобно рассматривать как свободные частицы, эффективная масса которых отличается от массы свободного электрона. В полупроводниках, кроме электронов, носителями заряда являются и положительно заряженные частицы – дырки. Таким образом, в явлениях, в которых основную роль играют эти частицы (электропроводность, теплопроводность, взаимодействие со светом и т.д.) твердое тело можно рассматривать как газ электронов и дырок.
Системы, состоящие из большого количества тождественных частиц, являются предметом изучения статистической физики. Основной особенностью статистических закономерностей является их вероятностный характер. Хорошо известен метод статистического описания коллектива молекул идеального газа. Несмотря на то, что скорость отдельной молекулы газа является величиной случайной в газе, состоящем из большого числа одинаковых молекул, наблюдается определенная закономерность в распределении их по скоростям. Используя методы статистической физики, всегда можно указать, какая доля молекул имеет скорость, заключенную в данном интервале значений.
Основная задача статистики состоит в определении числа частиц, энергия которых лежит в заданном интервале. Результатом решения этой статистической задачи является нахождение функции распределения частиц по энергиям , которую обозначают обычно f(E). Если dZ – число возможных состояний ансамбля частиц с энергией, заключенной в интервале от E до E+dE , а dN – число частиц, находящихся в этих состояниях, то по определению
(3.1)
Таким образом, функция распределения частиц по энергиям есть плотность заполнения данных состояний частицами.
Для молекул идеального газа f (E ) известна как функция распределения Максвелла-Больцмана :
(3.2)
где С – параметр, не зависящий от энергии; k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура.
Формулу (3.2) называют часто также каноническим распределением или распределением Гиббса . Из этого распределения можно легко получить известное из молекулярной физики распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям теплового движения. Статистика молекул идеального газа исходит из следующих основных положений:
1. Молекулы газа подчиняются законам классической механики.
2. Молекулы газа обладают индивидуальностью, позволяющей отличать их друг от друга. Поэтому, когда две молекулы, находящиеся в разных состояниях меняют местами, это приводит к новому распределению их по состояниям (новому микросостоянию).
3. Предполагается, что все способы распределения равновероятны.
Предположение о том, что электронный газ в металлах подчиняется статистике Максвелла-Больцмана, опровергается рядом экспериментальных результатов. Например, из этого предположения следует, что электроны должны давать вклад в теплоемкость металлов, который примерно на два порядка больше экспериментально наблюдаемой величины. Противоречие снимается, если учитывать квантовые свойства частиц в кристаллах.
В отличие от классической статистики Максвелла-Больцмана квантовая статистика стоит на точке зрения принципиальной неразличимости тождественных частиц . Поэтому перестановка местами двух квантовых частиц не приводит к новому микросостоянию. Для электронов и всех частиц с полуцелым спином необходимо учитывать также принцип Паули . Согласно этому принципу в одном квантовом состоянии может находиться только одна частица. Такие частицы называются фермионами и подчиняются квантовой статистике Ферми-Дирака . Иной квантовой статистикой описываются частицы с нулевым и целым спином. Эти частицы не подчиняются принципу Паули и в одном состоянии их может бытьсколько угодно. Такие частицы называются бозонами , квантовая статистика, которая описывает их распределение по энергиям, – статистикой Бозе-Эйнштейна . Сравнение этих трех статистик приведено на рис. 3.1 на примере распределения двух частиц по трем состояниям. Различные состояния частиц на этом рисунке изображены клетками.
Все возможные способы распределения двух частиц, подчиняющихся классической статистике Максвелла-Больцмана, по трем состояниям показаны на рис. 3.1,а. Поскольку частицы в этой статистике различимы, они обозначены разным цветом. Всего возможно девять микросостояний, математическая вероятность каждого из них равна 1/9. В квантовых статистиках Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака микросостояния 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6 принципиально неразличимы и каждая пара таких состояний должна рассматриваться как одно микросостояние. Для бозонов число возможных микросостояний равно 6 (рис. 3.1,б), а вероятность каждого из них – 1/6. Для фермионов микросостояния, в которых в каждом состоянии находятся по две частицы, реализоваться не могут. Остаются в статистике Ферми-Дирака только три возможных микросостояния, изображенные на рис. 3.1,в. Вероятность каждого из них равна 1/3.
Статистике Бозе-Эйнштейна подчиняются фотоны и фононы, играющие важную роль в физических свойствах твердых тел. Функция распределения Бозе-Эйнштейна имеет вид
(3.3)
Здесь Е В – химический потенциал системы бозонов.
Если полное число частиц не фиксировано, а должно определяться из условия термодинамического равновесия, как это имеет место для фотонов при излучении абсолютно черного тела, или фононов в кристалле, химический потенциал равен нулю. В этом случае формула (3.3) совпадает с формулой Планка, определяющей среднее число фотонов в данном типе колебаний теплового излучения абсолютно черного тела.
3.2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми.
Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака
Функция распределения Ферми-Дирака, описывающая распределение фермионов по состояниям, имеет следующий вид:
, (3.4)
здесь E F – химический потенциал системы фермионов, т.е. работа, которую необходимо затратить, чтобы изменить число частиц в системе на одну. В случае электронов величина E F называется энергией Ферми .
Рассмотрим вид функции Ферми-Дирака при температуре, стремящейся к абсолютному нулю. Как нетрудно видеть из формулы (3.4), для любой энергии частицы, большей энергии Ферми, экспонента в знаменателе стремится к бесконечности при , следовательно f(Е) стремится к нулю. Это значит, что все энергетические состояния с Е > E F совершенно свободны при абсолютном нуле. Если Е при , f(E) стремится к единице. Это значит, что все квантовые состояния с энергией, меньше энергии Ферми, полностью заняты электронами. Отсюда понятен физический смысл энергии Ферми как параметра распределения электронов по состояниям: энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля . Энергетический уровень, соответствующий энергии Ферми, называется уровнем Ферми .
Вид функции распределения Ферми-Дирака при Т = 0К представлен на рис. 3.2,а. На рис. 3.2,б показано распределение электронов по энергетическим уровням в зоне проводимости металла при этой же температуре.
Если Т ¹ 0К , то при энергии частицы, равной энергии Ферми, функция распределения Ферми-Дирака равна 1/2 . Это значит, что при любой температуре, отличающейся от абсолютного нуля, уровень Ферми заполнен наполовину. Вид функции Ферми-Дирака для двух различных температур показан схематически на рис. 3.3. Изменение характера распределения электронов по состояниям связано с тепловым возбуждением электронов. При этом часть электронов переходит в состояния с энергиями, большей энергии Ферми. Соответственно часть состояний ниже уровня Ферми оказывается свободной. В результате функция f(E) “размыта” вблизи энергии Ферми. Тепловому возбуждению подвергается незначительная часть электронов, находящихся вблизи уровня Ферми. Функция Ферми-Дирака заметно отличается от вида, который она имела при абсолютном нуле, лишь при . Величина “размытия” пропорциональна температуре (рис. 3.3). Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается функция распределения.
При условии
(3.5)
экспонента в знаменателе становится значительно больше единицы в формуле (3.4). В этом случае единицей можно пренебречь и распределение Ферми-Дирака преобразуется к виду
(3.6)
Выражение (3.6) совпадает по форме с функцией распределения Максвелла-Больцмана.
Вероятность того, что некоторый энергетический уровень с энергией Е свободен, т.е. занят дыркой, равна
(3.7)
Таким образом, функция распределения Ферми-Дирака для дырок аналогична функции распределения для электронов, если в ней изменить знаки показателей экспонент. Это хорошо согласуется с представлением о том, что дырки являются носителями положительного заряда.
Газ носителей заряда, подчиняющийся статистике Ферми-Дирака, называется вырожденным . Если носители заряда подчиняются статистике Максвелла-Больцмана, то они называются невырожденными .
3.3. Функция плотности состояний электронов и дырок
Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, необходимо, кроме функции распределения , знать функцию плотности состояний . Эта функция описывает распределение уровней в соответствующих зонах и определяет число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии. По определению
(3.8)
Здесь, как и раньше, dZ – число возможных состояний ансамбля частиц (число уровней) с энергией, заключенной в интервале от E до E+dE . Функцию g(E) вычислим для кубического кристалла со стороной L . Энергия электрона у дна зоны проводимости приближенно может быть представлена в виде
(3.9)
здесь энергия дна зоны проводимости, – эффективная масса электрона у дна зоны проводимости, k – квазиимпульс электрона, – его компоненты. Согласно граничным условиям, компоненты квазиимпульса могут принимать только следующие дискретные значения энергии:
Каждому набору чисел n x , n y , n z отвечает некоторое квантовое состояние (квантовый уровень). В пространстве волновых векторов каждому квантовому состоянию соответствует объем , где V – объем кристалла. Эти элементарные кубические ячейки займут в пространстве волновых чисел объем шара радиусом k , соответствующего максимально возможному значению модуля волнового вектора. Выделим шаровой слой, заключенный между двумя поверхностями k = const и k +dk = const . Объем этого слоя составляет . Разделив этот объем на объем элементарной ячейки и умножив на 2, поскольку в каждом состоянии могут находиться по два электрона с противоположно направленными спинами, получим число состояний в объеме шарового слоя:
. (3.10)
Согласно (3.9)
Подставляя значения k 2 и dk в формулу (3.10), получим
Учитывая (3.8), получим окончательное выражение для плотности квантовых состояний электронов у дна зоны проводимости:
(3.11)
Энергию дырок у потолка валентной зоны можно записать также в виде параболического закона:
(3.12)
где E v – энергия потолка валентной зоны, – эффективная масса дырки. Вычисления, аналогичные тем, которые были проведены выше для электронов, приводят к следующему выражению для функции плотности состояний дырок вблизи потолка валентной зоны:
(3.13)
Следует подчеркнуть, что формулы (3.11) и (3.13) справедливы только для состояний вблизи экстремумов энергии, т.е. у дна или потолка энергетической зоны. В средней же части зоны точный вид функции g(E ) неизвестен. На рис. 3.4 схематически представлены зависимости плотности квантовых уровней вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.
3.4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике.
Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок
Вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости полупроводника. Число электронов dN , находящихся в dZ состояниях энергетической зоны в соответствии с уравнением (3.1) определяется выражением
Учитывая, что dZ = g(E) dE , получим
. (3.14)
Общее число электронов в зоне проводимости найдем, проинтегрировав выражение (3. 14) в пределах зоны
, (3.15)
здесь Е п – энергия потолка зоны проводимости. Поскольку функция распределения Ферми-Дирака очень быстро уменьшается с увеличением энергии, то верхний предел интегрирования можно взять равным бесконечности. Если степень заполнения энергетических состояний электронами в зоне проводимости мала (f(E) f(E) и g(E) в уравнение (3.15) приводит к следующему выражению для концентрации электронов в зоне проводимости:
. (3.16)
Преобразуем теперь выражение (3.16) к виду
Произведем замену переменных в подынтегральном выражении
В результате получим
Интеграл в этом выражении равен . Следовательно
(3.17)
где
. (3.18)
Величину N c называют эффективной плотностью состояний в зоне проводимости . Это название связано с тем, что полная концентрация электронов, распределенных в действительности в определенном энергетическом интервале в зоне проводимости, такая же, как если бы зона была занята N c уровнями, обладающими одной и той же энергией Е c .
Аналогично можно вычислить концентрацию дырок в валентной зоне. Поскольку вакантное состояние в валентной зоне образуется в результате перехода электрона из этого состояния в зону проводимости, то вероятность того, что состояние с энергией Е в валентной зоне не занято, равна .
Тогда концентрация дырок
здесь E v – потолок валентной зоны.
При условии, что газ дырок невырожденный, получим
(3.19)
где эффективная плотность состояний в валентной зоне
. (3.20)
Перемножая выражения (3.17) и (3.19), получим
(3.21)
где n i – концентрация собственных носителей заряда в полупроводнике, E g = E c – E v – ширина запрещенной зоны.
Соотношение (3.21) называется законом действующих масс . При выводе этого закона использовано предположение о том, что степень заполнения энергетических уровней носителями заряда много меньше единицы. Такой газ носителей называется невырожденным , а полупроводники – невырожденными .
В общем случае вырожденным газом в физике называется газ, свойства которого отличаются от свойств классического идеального газа вследствие квантово-механических свойств частиц газа. Вырожденный газ подчиняется квантово-механическим статистикам Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна, невырожденный газ – статистике Маквелла-Больцмана. Условием перехода газа в невырожденное состояние является выполнение неравенства f(E)
(3.22)
Аналогичное соотношение справедливо и для дырок с заменой n на p и на .
Вопрос о том, является газ носителей заряда в кристалле вырожденным или невырожденным определяется только его концентрацией и температурой. Подстановка численных значений величин, входящих в неравенство (3.22), приводит к выводу о том, что при комнатной температуре (Т ~ 300К) газ носителей будет невырожденным, если его концентрация значительно меньше 10 25 м -3 . Это условие выполняется практически для всех полупроводников. Поскольку концентрация электронов в зоне проводимости металлов превышает 10 28 м -3 , то электронный газ металлов всегда является вырожденным.
Таким образом, закон действующих масс выполняется для любого невырожденного полупроводника независимо от роли примесей, т.е. в любом невырожденном полупроводнике увеличение концентрации носителей одного знака приводит к уменьшению концентрации носителей противоположного знака. Следует отметить также, что произведение электронной и дырочной концентраций не зависит от положения уровня Ферми.
3.5. Уровень Ферми в полупроводниках
Понятия энергии Ферми и уровня Ферми были введены ранее для металлов. Поскольку в полупроводниках функция распределения электронов по состояниям имеет тот же вид, что и в металлах, то энергия Ферми в полупроводниках имеет тот же физический смысл: энергия Ферми – это максимально допустимая энергия, ниже которой при нулевой абсолютной температуре все энергетические уровни заняты [f(E) = 1], а выше которой все уровни пусты [f(E ) = 0]. Для полупроводников, у которых при абсолютном нуле валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости совершенно свободна, функция распределения имеет разрыв. Следовательно, уровень Ферми в полупроводнике должен лежать при абсолютном нуле в запрещенной зоне.
Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны (n = p ), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку. Приравнивая равенства (3.17) и (3.19), получим
Разрешая последнее равенство относительно Е F , получим
(3.23)
Если эффективные массы электронов и дырок равны [ = , = 0] уровень Ферми собственного полупроводника при любой температуре располагается посередине запрещенной зоны.
Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении (3.23). Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике с изменением температуры схематически показано на рис. 3.5.
Для большинства полупроводников эффективная масса дырки не намного превышает эффективную массу электрона и смещение уровня Ферми с изменением температуры незначительно. Однако у антимонида индия (InSb) , а ширина запрещенной зоны невелика (E g = 0,17 эВ), так что при Т > 450 K уровень Ферми входит в зону проводимости. При этой температуре полупроводник переходит в вырожденное состояние.
Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде
, (3.24)
здесь N d – концентрация донорных уровней, n d – концентрация электронов на донорных уровнях. Концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций дырок в валентной зоне и концентрации положительно заряженных ионов доноров (последняя, очевидно, равна N d – n d ).
Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней N d на функцию распределения Ферми-Дирака:
, (3. 25)
где Е d – энергия активации донорных уровней.
Подстановка в условие электронейтральности (3.24) концентраций электронов (3.17) и дырок (3.19), а также концентрации электронов на донорных уровнях (3.25) приводит к следующему уравнению относительно положения уровня Ферми Е F :
. (3.26)
При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение (3.24) было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы (3.25).
Уравнение (3.26) ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (3.26) имеет вид
. (3.27)
Из уравнения (3.27) следует, что при абсолютном нуле температуры энергия Ферми донорного полупроводника находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. Температурная зависимость положения уровня Ферми определяется третьим членом в уравнении (3.27), который меняет знак с изменением температуры. Поэтому уровень Ферми с повышением температуры сначала смещается к зоне проводимости, а затем – к валентной зоне (рис. 3.6,а).

Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. 3.6,б.
3.6. Равновесные и неравновесные носители заряда. Квазиуровни Ферми
Положение уровня Ферми в собственных и примесных полупроводниках связано с концентрацией носителей заряда, установившейсяпри данной температуре в состоянии термодинамического равновесия. Переброс электронов в зону проводимости за счет температурного возбуждения и возникновение в результате этого процесса дырок в валентной зоне называется термической генерацией свободных носителей заряда . Одновременно происходит и обратный процесс: электроны возвращаются в валентную зону, в результате чего исчезают электрон и дырка. Этот процесс называется рекомбинацией носителей заряда . Для количественного описания процессов генерации и рекомбинации носителей заряда в полупроводниках используют понятия скорости генерации , скорости рекомбинации и времени жизни носителей заряда.
Скорость генерации носителей – это число носителей, возбуждаемых в единичном объеме полупроводника за единицу времени.
Скорость рекомбинации носителей – это число носителей, рекомбинирующих в единице объема полупроводника за единицу времени.
Время жизни носителeй t – это среднее время от генерации носителя до его рекомбинации.
Из приведенных выше определений непосредственно следуют следующие соотношения между скоростями рекомбинации электронов R n и дырок R p и их временами жизни t n и t p соответственно:
(3.28)
Здесь учтено, что 1/ t – вероятность рекомбинации носителя за единицу времени.
При фиксированной температуре устанавливается термодинамическое равновесие, при котором процессы генерации и рекомбинации взаимно уравновешиваются. Такие носители, находящиеся в тепловом равновесии с кристаллической решеткой, называются равновесными .
Электропроводность полупроводника может быть возбуждена и другими способами, например, облучением светом, действием ионизирующих частиц, электрическим полем, инжекцией носителей через контакт и др. Во всех этих случаях дополнительно к равновесным носителям в полупроводнике возникают носители заряда, которые не будут находиться в состоянии теплового равновесия с кристаллом. Такие носители называются неравновесными .
Общую концентрацию электронов в зоне проводимости n в случае равновесных и неравновесных носителей можно представить в виде
, (3.29)
где n 0 – концентрация равновесных электронов; D n – концентрация неравновесных электронов.
Общая концентрация дырок
, (3. 30)
где p 0 и D p – равновесная и неравновесная концентрации дырок соответственно.
Поскольку распределение Ферми-Дирака справедливо только для состояния термодинамического равновесия, то понятно, что статистика неравновесных носителей должна быть иной. В отсутствие термодинамического равновесия принято вводить два новых параметра распределения E Fn для электронов и E Fp для дырок. Эти параметры выбираюттаким образом, чтобы для концентраций электронов и дырок при наличии неравновесныхносителей выполнялись уравнения (3.17) и (3.19) соответственно при условии замены E F на E Fn для электронов и на E Fp для дырок. Величины E Fn и E Fp называют квазиуровнями Ферми электронов и дырок соответственно. Таким образом, в невырожденных полупроводниках справедливы уравнения
, (3.31)
В состоянии термодинамического равновесия квазиуровни Ферми совпадают с равновесным уровнем Ферми E F . Чем выше концентрация неравновесных носителей заряда, тем дальше отстоят квазиуровниФерми от уровня Ферми. Из уравнений (3.31), (3.32), (3.17) и (3.19) следует
. (3.33)
Это соотношение выражает связь между концентрациями электронов и дырок в неравновесном состоянии. Разность энергий характеризует отклонение от состояния термодинамического равновесия. Если np > n 0 · p 0 , то . Это условие соответствует инжекции (вбрасыванию) избыточных носителей. Если np n 0 p 0 , то говорят об экстракции (обеднении) носителей.
Неравновесные носители играют важную роль в работе полупроводниковых приборов.
Вырожденный электронный газ в металле.
Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в одном состоянии не может быть двух одинаковых (с одинаковым набором четырех квантовых чисел) электронов, они должны отличаться какой-то характеристикой, например направлением спина. Следовательно, по квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Принцип Паули вынуждает электроны взбираться вверх «по энергетической лестнице».
Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Если μ 0 – химический потенциал электронного газа при T = 0 К, то, среднее число электронов в квантовом состоянии с энергией Е равно
(1)
Для фермионов (электроны являются фермионами) среднее число частиц в квантовом состоянии и вероятность заселенности квантового состояния совпадают, так как квантовое состояние либо может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает, что для фермионов = f (Е ), где f (Е ) – функция распределения электронов по состояниям. Из (1) следует, что при Т = 0 К функция распределений = 1, если E E > μ 0 ,. График этой функции приведен на рис. 15, а. В области энергий от 0 до μ 0 функция равна единице. При E = μ 0 она скачкообразно изменяется до нуля. Это означает, что при Т = 0 К все нижние квантовые состояния, вплоть до состояния с энергией E = μ 0 , заполнены электронами, а все состояния с энергией, большей μ 0 , свободны. Следовательно, μ 0 есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми и обозначается Е F . ( Е F = μ 0). Поэтому распределение Ферми – Дирака обычно записывается в виде
(2)
Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми. Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е F: , которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна «потенциальной ямы», как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т. с. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.
Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство kT E F . Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура T 0 вырождения находится из условия kT 0 = E F . Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Соответствующие расчеты показывают, что для электронов в металле Т 0 ≈ 10 4 К, т.е. для всех температур, при которых металл может существовать в твердом состоянии, электронный газ в металле вырожден.
При температурах, отличных от 0 К, функция распределения Ферми-Дирака (2) плавно изменяется от 1 до 0 в узкой области (порядка kT ) в окрестности Е F (рис. 15, б). (Здесь же для сравнения пунктиром приведена функция распределения при Т = 0 К.) Это объясняется тем, что при T > 0 небольшое число электронов с энергией, близкой к Е F , возбуждается за счет теплового движения и их энергия становится больше Е F . Вблизи границы Ферми при Е заполнение электронами меньше единицы, а при Е >Е F . – больше нуля. В тепловом движении участвует лишь небольшое число электронов, например при комнатной температуре Т ≈ 300 К и температуре вырождения T 0 = 3 10 4 К, – это 10 -5 от общего числа электронов.
Если (Е – Е F ) >> kТ («хвост» функции распределения), то единицей в знаменателе (2) можно пренебречь по сравнению с экспонентой и тогда распределение Ферми – Дирака переходит в распределение Максвелла – Больцмана.
Материал из Википедии – свободной энциклопедии
Энергия (уровень) Фе́рми () системы невзаимодействующих фермионов – это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в её основном состоянии при абсолютном нуле температур . Энергия Ферми может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии при абсолютном нуле температур. Энергия Ферми – одно из центральных понятий физики твёрдого тела.
Физический смысл уровня Ферми: вероятность обнаружения частицы на уровне Ферми составляет 1/2 при любых температурах, кроме T = 0 {\displaystyle T=0} .
Название дано в честь итальянского физика Энрико Ферми .
Фермионы – частицы с полуцелым спином , обычно 1/2, такие как электроны – подчиняются принципу запрета Паули , согласно которому две одинаковые частицы, образуя квантово-механическую систему (например, атом), не могут принимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми – Дирака . Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания их энергии (например, заполнение электронами электронных орбиталей атома). Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния: в случае макроскопической системы различие не важно). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Фе́рми . Частицы с энергией, равной энергии Ферми, двигаются со скоростью, называемой скоростью Фе́рми (только в случае изотропного дисперсионного соотношения в среде).
В свободном электронном газе (квантово-механическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу . Нечто подобное можно сделать для периодических систем типа электронов, движущихся в атомной решётке металла , используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале ). В любом случае, состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми . Для свободного электронного газа, поверхность Ферми – поверхность сферы; для периодических систем она вообще имеет искаженную форму. Объём, заключённый под поверхностью Ферми, определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью . Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.
Уровень Ферми при ненулевых температурах
Для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах можно считать k T ≪ μ {\displaystyle kT\ll \mu } . Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. (В другом предельном случае k T ≫ μ {\displaystyle kT\gg \mu } ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой.)
В качестве уровня Ферми можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть вероятность находящегося на искомом уровне состояния быть заполненным частицей должна быть равна 1/2).
Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением
μ = E F [ 1 − π 2 12 (k T E F) 2 + π 4 80 (k T E F) 4 + … ] , {\displaystyle \mu =E_{F}\left,}
где E F {\displaystyle E_{F}} – энергия Ферми, k {\displaystyle k} – постоянная Больцмана , и T {\displaystyle T} – температура . Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми E F / k {\displaystyle E_{F}/k} . Характерная температура имеет порядок 10 5 для металла, следовательно при комнатной температуре (300 ), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми – Дирака [ ] .
Энергия Ферми, Температура Ферми и Скорость Ферми
Элемент Энергия Ферми, эВ Температура Ферми, *10 000 K Скорость Ферми, *1000 км/с
Li 4.74 5.51 1.29
Na 3.24 3.77 1.07
K 2.12 2.46 0.86
Rb 1.85 2.15 0.81
Cs 1.59 1.84 0.75
Cu 7.00 8.16 1.57
Ag 5.49 6.38 1.39
Au 5.53 6.42 1.40
Be 14.3 16.6 2.25
Mg 7.08 8.23 1.58
Ca 4.69 5.44 1.28
Sr 3.93 4.57 1.18
Ba 3.64 4.23 1.13
Nb 5.32 6.18 1.37
Fe 11.1 13.0 1.98
Mn 10.9 12.7 1.96
Zn 9.47 11.0 1.83
Cd 7.47 8.68 1.62
Hg 7.13 8.29 1.58
Al 11.7 13.6 2.03
Ga 10.4 12.1 1.92
In 8.63 10.0 1.74
Tl 8.15 9.46 1.69
Sn 10.2 11.8 1.90
Pb 9.47 11.0 1.83
Bi 9.90 11.5 1.87
Sb 10.9 12.7 1.96
Ni 11.67 2.04
Cr 6.92 1.56
Связь энергии Ферми и концентрации электронов проводимости
Концентрация электронов проводимости в вырожденных полупроводниках связана с расстоянием от края частично заполненной энергетической зоны до уровня Ферми. Эту положительную величину иногда тоже называют энергией Ферми, по аналогии с энергией Ферми свободного электронного газа, которая, как известно, положительна.
Плотность состояний
.
© H. Föll (Semiconductors – Script)
Во всех практических расчетах эффективная плотность состояния N _eff используется вместо D ( E ) . N _eff – это просто число, давайте посмотрим, как это можно сделать модель свободного электронного газа.
Давайте просто посмотрим на электроны в проводимости группа; для дырок все как обычно симметрично.Мы хотим получить представление о распределении электронов в зоне проводимости по доступным энергетические состояния (задано D ( E ) ).
У нас в полная общность для n _e = плотность электронов в зоне проводимости
n _e = E *
ó
х
E _C D ( E ‘) · f ( E’ , T ) · d E ‘
С f ( E ‘, E _F, T ) = Распределение Ферми-Дирака, и интегрирование выполняется из от нижней части зоны проводимости до верхней части полосы при E * , (или до бесконечности на практике). Прочерк у символа энергия, E ‘, просто поясняет, что нулевая точка шкалы энергии еще не дно зоны проводимости .
Конечно, мы используем приближение Больцмана для конец распределения Ферми и получаем
n _e = ¥

х
E _C D ( E ‘) ехр æ
è – E ‘- E _F
к т ö
ø · д E
Если взять нижнюю часть зона проводимости как нулевая точка шкалы энергии для D ( E ) , имеем E = E ‘- E _C с E _C = энергия зона проводимости.Вставка в формулу выше дает
n _e = эксп. æ
è – E _C – E _F
к т ö
ø · ¥

х
0 D ( E ) ехр æ
è – E
к т ö
ø · д E
Вставка плотности состояний из выше с сокращением
N ₀ = 1
2п ² æ
ç
è 2 мес.
² ö
÷
ø 3/2
дает окончательную формулу для вычисления
n _e = эксп. æ
è – E _C – E _F
к т ö
ø · N ₀ · ¥

х
0 E ^1/2 · эксп æ
è – E
к т ö
ø · д E
Определенный интеграл [ E ^1/2 · exp (- E / k T )] d E можно найти в интегральных таблицах; его значение (1/2) · (p ^1/2) · (К т ) ^3/2 .
Вставка, переключение с до ч , и некоторая подтасовка терминов дает окончательный результат, определяющий эффективный плотность состояний N _eff
n _e = 2 · æ
ç
è 2п · м · к Т
ö
÷
ø 3/2 · эксп æ
è – E _C – E _F
ö
ø =: N _эфф · эксп æ
è – E _C – E _F
ö
ø
ч ² к т к т
Теперь у нас есть окончательный результат

N _эфф. = 2 · æ
ç
è 2п · м · к Т
ö
÷
ø 3/2
ч ²

И это формула, которую мы используется в позвоночник.
А как насчет чисел а размер? У нас
[ N _eff] = кг ^3/2 · эВ ^3/2 · эВ ^–3 · с ^–3 = кг ^3/2 · эВ ^–3/2 · с ^–3
До того, как мы имеем 1 кг ^3/2 = 1.559 · 10 ²⁸ эВ ^3/2 · М ^–3 · с ³ . Вставляя это наконец дает (для массы, указанной в кг, , длины в м, и энергии в эВ ):
N _эфф = 4,59 · 10 ¹⁵ · T ^3/2 см ^–3
= 2.384 · 10 ¹⁹ см ^–3 ( Т = 300 К)
= 2,384 · 10 ²⁵ м ^–3
И это очень полезные числа – в в частности, поскольку они довольно близки к «реальным» (т.е. измерено) значения для Si .
Плотность носителей заряда (электроны и дырки)
Плотность носителей для электронов в зоне проводимости
Для зоны проводимости общая концентрация электронов, n _c – это целое число занятых энергетических состояний при данной энергии на единицу объема. Ec представляет начальный уровень энергии зоны проводимости…………… (1)
где нашли плотность состояний
Теперь для электрона в зоне проводимости мы заменяем эффективную массу на эффективную массу электрона. Также для начальной энергии
зоны проводимости и функции распределения
Рассмотрим ситуацию, когда E-E _F >> KT. В этом случае экспоненциальный член в знаменателе преобладает, так что
Подставляя D (E) и F (E) в уравнение 1, мы получаем
………. (2)
где
.. ………….. (3)
На этом этапе изменение переменных путем допуска
или
также изменяет пределы интегрирования
; и ………… (4) Чтобы оценить здесь интеграл, отметим, что гамма-функция, определенная как интеграл, равен
. Это выражение плотности носителей электронов в зоне проводимости.
, где
Nc называется эффективной плотностью состояний в зоне проводимости
Плотность носителя для отверстий в балансовой ленте
Мы повторяем тот же расчет для балансовой ленты
Для балансовой ленты общая концентрация электронов, n _v – это интеграл от числа занятых энергетических состояний при данной энергии на единицу объема.Ev представляет собой конечный уровень энергии балансовой ленты.
……….. (1)
где нашли плотность состояний
Теперь для дырок в валансной зоне мы заменяем эффективную массу эффективной массой дырки. Также для конечной энергии валентной полосы
и вероятности того, что дырка занимает заданное состояние, можно выразить через отсутствие электрона
Подставляя D (E) и [1-F (E)] в уравнение 1, мы получаем
……… (2)
где
Использование
уравнение № (2) сокращается до
……….. (3)
На этом этапе изменение переменных, позволяя
или
также изменять пределы интегрирования
и ………… (4) Чтобы оценить Здесь следует отметить, что гамма-функция, определенная как интеграл, равна
. Это выражение плотности носителей дырок в полосе Валанса
, где
Nv называется эффективной плотностью состояний в полосе валанса
. Температурная зависимость плотности состояний в полупроводниках
World Journal of Condensed Matter Physics
Vol.3 №4 (2013), ID статьи: 40108,5 стр. DOI: 10.4236 / wjcmp.2013.34036
Температурная зависимость плотности состояний в полупроводниках
Гафур Гулямов ¹, Носир Юсупьянович Шарибаев ^1,2 Эркабоев Улугбек Иноятиллаевич ¹

¹ Наманганский инженерно-педагогический институт, Наманган, Узбекистан; ² Наманганский инженерно-технологический институт, Наманган, Узбекистан.
Эл. Почта: [email protected]
Copyright © 2013 Гафур Гулямов и др. Это статья в открытом доступе, распространяемая по лицензии Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии правильного цитирования оригинальной работы.
Поступила 17 сентября ^-е, 2013 г .; доработана 21 октября ^st, 2013 г .; принято 10 ноября ^-е, 2013
Ключевые слова: Band Gap; Эффективная массовая плотность состояний; Энергетический спектр; Численное моделирование и эксперимент
РЕФЕРАТ
Рассмотрена температурная зависимость плотности энергетических состояний в полупроводниках.С помощью математического моделирования теплового уширения энергетических уровней изучена температурная зависимость ширины запрещенной зоны полупроводников. С учетом непараболической и температурной зависимости эффективной массы плотности состояний в разрешенных зонах получены графики температурной зависимости ширины запрещенной зоны. Проведено сравнение теоретических результатов математического моделирования с экспериментальными данными для Si, InAs и твердых растворов p-Bi _{2 − x} Sb _x Te _{3 − y} Se _y.Теоретические результаты удовлетворительно объясняют экспериментальные результаты для Si и InAs. Новый подход исследуется температурной зависимостью запрещенной зоны полупроводников.
1. Введение
Плотность состояний определяет тепловые, оптические, магнитные, электрические и другие физические свойства полупроводников. Изменение энергетических щелей с повышением температуры можно объяснить влиянием колебаний решетки на уровни энергии в кристаллах. Статистический анализ задачи проводится путем анализа свободной энергии кристалла как суммы энергий электронного газа, колебаний решетки и электрон-фононных взаимодействий [1, 2].С другой стороны, следует учитывать тепловое уширение энергетических уровней излучательных переходов [1,2]. В [3-8] температурная зависимость плотности состояний определяется методом релаксационной спектроскопии энергетических уровней в полупроводниках. Показано, что плотность поверхностных состояний изменяется в зависимости от температуры. Из-за теплового уширения уровней дискретный спектр с зависающей температурой становится непрерывным энергетическим спектром. С расширением энергетического спектра плотности состояний по энергии, полученной из вероятности требуемого уровня энергии, было показано, что количество энергетических щелей зависит от температуры.Температурная зависимость ширины запрещенной зоны определяется плотностью состояний зоны проводимости и валентной зоны полупроводника. Из-за теплового расширения плотности состояний у дна зоны проводимости валентная зона уменьшает ширину запрещенной зоны. При расчете температурной зависимости запрещенного, принятого для простоты, плотность состояний в областях постоянного края зоны проводимости и валентной зоны резкая и имеет ступенчатую форму. В этих работах эффективная масса плотности состояний не зависит от температуры.Однако, как показали эксперименты [9], эффективная масса плотности состояний зависит от температуры. Это изменение эффективной массы изменяет температурную зависимость ширины запрещенной зоны. Однако в реальном состоянии полупроводника плотность является функцией скорости, и структура энергетической зоны образца определяется. Более того, плотность состояний настолько универсальна, что ее можно использовать даже при отсутствии зоны Бриллюэна и резких границ разрешенных и запрещенных зон [10,11].
Таким образом, при анализе экспериментальных результатов для сравнения теории и эксперимента необходимо учитывать конкретный вид зонной структуры полупроводника и зависимость эффективной массы носителей заряда от температуры.
Целью данной работы является исследование температурной зависимости запрещенной зоны полупроводника с зонной структурой и температурной зависимостью эффективной массы носителей и сравнение теории с экспериментом.
2. Зависимость энергетической щели от температуры
Как было показано в [3-8], плотность состояний может быть разложена на ряд функций GN. Температурная зависимость функции GN будет определять статистическое тепловое уширение дискретных уровней.Результирующая плотность состояний определяется разложением дискретных состояний по GN-функции, учитывающей тепловое уширение каждого дискретного уровня. Мы предполагаем, что плотность состояний при абсолютном нуле параболическая N _s (E). Определим конкретный вид электронной дисперсии. Например, парабола электронной дисперсии или по модели Кейна. По методике [3-8] разложим плотность состояний в ряд GN-функций. Зоны непараболичности будем учитывать через температурную зависимость эффективной массы температуры:
(1)
где
N _s (E) – плотность состояний при нулевой температуре [12, 13 ]
(2)
где, и E _c, E _v –
Значение энергии зоны проводимости и валентной зоны при T = 0.
Подставляя (2) в (1), получаем плотность состояний при температуре T. При определении ширины щели мы используем плотность состояний, которая зависит от температуры. При моделировании процесса измерения ширины запрещенной зоны при повышении температуры используйте условие, приведенное в [8]. Мы предполагаем, что плотность состояний, соответствующих краям запрещенной зоны E _c и E _v, равна N _k. Область энергии, в которой плотность состояний N _s (T) меньше критического значения N _k, предполагается, что запрещенная зона.Энергетический диапазон, где N _s (T)> N _k разрешение из зон. Значения краев запрещенной зоны, положение дна зоны проводимости E _c (T) и валентной зоны E _v (T) определяется решением трансцендентного уравнения
(3)
трансцендентное решение уравнения (3) относительно E при заданной температуре T, а критическое значение плотности состояний N _k определяет положение краев разрыва E _c (N _k, T ) и E _v (N _k, T).В уравнении (3) N _k включен в качестве параметра. Величина N _k определяется условиями эксперимента и точностью методики измерений. Тогда ширина запрещенной зоны определяется как разница между значениями E _c (T, N _k) и E _v (T, N _k):
(4)
Отсюда следует, что метод определения точности эксперимента и важные факторы при определении ширины зазора. Действительно, ширина запрещенной зоны, определяемая оптическими методами, «оптическая ширина» запрещенной зоны может не соответствовать величине запрещенной зоны, определяемой температурной зависимостью сопротивления полупроводника.Одна из причин – разные значения для оптических и электрических методов измерения N _k.
3. Влияние эффективной массы плотности состояний на температурную зависимость ширины запрещенной зоны в твердом p-Bi _{2 − x} Sb _x Te _{3 − y} Se _y
In [9] обнаружили, что в твердом веществе p-Bi _{2 − x} Sb _x Te _{3 − y} Se _y эффективная плотность состояний в валентной зоне сильно зависит от температуры.На рис. 1 показана температурная зависимость эффективной массы плотности состояний в твердом p-Bi _{2 − x} Sb _x Te _{3 − y} Se _y из [9]. С использованием данных рисунка 1 рассчитано изменение ширины запрещенной зоны модели с температурой.
На рисунке 2 показаны графики плотности состояний при температуре T = 100 K и T = 300 K. Как видно из рисунка 2, учет изменения эффективной массовой плотности состояний существенно влияет на плотность состояний вблизи валентная полоса.
На рис. 3 показана температурная зависимость графика ширины запрещенной зоны для твердых растворов pBi _{2 − x} Sb _x Te _{3 − y} Se _y до изменения эффективной массовой плотности состояний, взятых из рис. 3 [9]. Например, для твердого раствора p-Bi _{2 − x} Sb _x Te _{3 − y} Se _y изменение ширины запрещенной зоны за счет изменения эффективной массы при T = 100 K составляет
. При увеличении температуры до T = 300 K изменение ширины запрещенной зоны из-за изменения эффективной массы плотности состояний составляет
Это показывает, что уменьшение ширины запрещенной зоны за счет изменения эффективной массы с увеличением температура от
Рисунок 1.Температурная зависимость эффективной массы плотности состояний m / m ₀ в твердых растворах p-Bi _{2 − x} Sb _x Te _{3 − y} Se _y [14]. 1 → х = 1, у = 0,06; 2 → х = 1,1, у = 0,06; 3 → х = 1,2, у = 0,06; 4 → х = 1,2, у = 0,09; 5 → x = 1,3, y = 0,09, 6 → x = 1,3, y = 0,07; 7 → х = 1,5, у = 0,09.
От 100 К до 300 К можно увеличить более чем в 10 раз. На рис.3 представлены графики температурной зависимости ширины запрещенной зоны твердых растворов p-Bi _{2 − x} Sb _x Te _{3 − y} Se _y для изменения эффективной массы плотности состояний. взято из рисунка 1.Таким образом, изменение эффективной массы плотности состояний с температурой может сильно повлиять на температурную зависимость ширины запрещенной зоны.
4. Сравнение теории с экспериментом
Температурная зависимость ширины запрещенной зоны зависит от плотности состояний при абсолютной температуре. В модели, использованной в [3-8], температурная зависимость плотности состояний определяется температурной зависимостью GN-функций и зонной структурой разрешенных зон на дне зоны проводимости
и наверху зоны проводимости. валентная полоса.Анализ результатов численного моделирования изменения плотности состояний при температуре показал, что значение плотности состояний вблизи краев зоны определяется числом состояний краев зоны, составляющим несколько десятков kT или около 0,1 мэВ плотность состояний на глубине разрешенных зон не влияет на ширину щели. Поскольку GN-функция глубокой области зоны не проникает в запрещенную зону полупроводника, основной вклад в сдвиг краев зоны дают состояния, лежащие близко к краям разрешенных зон.Согласно этому закону дисперсии вблизи верха валентной зоны и края зоны проводимости решающее значение имеет определение температурной зависимости ширины запрещенной зоны E _g (T). На рисунках 4 и 5 представлены графики температурной зависимости ширины запрещенной зоны InAs [14] и Si [15].
С помощью математического моделирования температурной зависимости E _g (T) для параболической зоны и модели Кейна получены графики ширины запрещенной зоны от температуры. Как видно из исследованного температурного диапазона параболической дисперсии, модель для использования модели Кейна хорошо согласуется с экспериментальными данными для InAs [14] и Si [15].Теоретические расчеты теоретических данных для этих материалов хорошо согласуются с экспериментальными данными. Отсюда следует, что температурная зависимость ширины запрещенной зоны удовлетворительно описывается математической моделью расширения плотности состояний по ряду GN-функций, которая описывает температурную зависимость теплового уширения отдельных энергетических уровней в зонах и в запретная зона.
5. Заключение
Температурная зависимость энергетического спектра плотности состояний твердых растворов
Рисунок 4.Температурная зависимость ширины запрещенной зоны Si.
Рис. 5. Температурная зависимость ширины запрещенной зоны InAs.
p-Bi _{2 − x} Sb _x Te _{3 − y} Se _y учитывает температурную зависимость эффективной массы плотности состояний в валентной зоне. Получена температурная зависимость ширины запрещенной зоны для изменения эффективной массы плотности состояний. Численные эксперименты показывают, что при температурах T> 120 K изменение эффективной массы плотности состояний при увеличении T существенно влияет на температурную зависимость ширины запрещенной зоны.
В этом диапазоне температур ([0, 300 K], [0, 500 K]) математическое моделирование температурной зависимости ширины запрещенной зоны удовлетворительно описывается параболическим законом дисперсии и моделью Кейна. Экспериментальные результаты изменения ширины запрещенной зоны кремния [13] и InAs [14] в пределах точности измерения согласуются с результатами теоретических расчетов. Сравнение теории и эксперимента показывает, что тепловое уширение энергетических уровней с функцией GN удовлетворительно описывает процесс температурной зависимости ширины запрещенной зоны Si и InAs.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Б. Ридли, «Квантовые процессы в полупроводниках», Clarendon Press, Oxford, 1982.
Р. Песслер, «Полуэмпирические описания температурных зависимостей ширины запрещенной зоны в полупроводниках», Physica Status Solidi (b ), Т. 236, No. 3, 2003, pp. 710-728. http://dx.doi.org/10.1002/pssb.200301752
Г. Гулямов, Н.Ю. Шарибаев, “Определение плотности поверхностных состояний на границе раздела полупроводник-изолятор в структуре металл-диэлектрик-полупроводник” // ФТП.45, No. 2, 2011, pp. 178-182.
Г.Гулямов, Н.Ю. Шарибаев, “Определение дискретного спектра поверхностной плотности состояний в МОП-структурах Al-SiO ₂ -Si, облученных нейтронами”, Поверхность. Рентгеновские, Синхротронные и Нейтронные исследования, № 9, 2012, с. 13-17.
Г. Гулямов, Н. Ю. Шарибаев, У.И. Эркабоев, «Плотность теплового уширения состояний и температурная зависимость ширины запрещенной зоны Ge», FIP.10, No. 4, 2012, pp. 366-370.
Г. Гулямов, Н.Ю. Шарибаев, “Температурная зависимость ширины запрещенной зоны Si и за счет теплового расширения плотности состояний”, FIP. 10, No. 2, 2012, pp. 4-8.
Г. Гулямов, И. Н. Каримов, Н. Ю. Шарибаев, У.И. Эркабоев, «Определение плотности поверхностных состояний в структурах полупроводник-диэлектрик в Al-SiO ₂ -Si и Al-SiO ₂ -n-Si при низких температурах», Узбекский журнал физики, Vol. .12, No. 3, 2010, pp. 143-146.
Г. Гулямов, Н. Ю. Шарибаев, У.И. Эркабоев, «Влияние эффективной массовой плотности состояний на температурную зависимость ширины запрещенной зоны в твердых растворах p-Bi ₂ _– _x Sb _x Te ₃ _– _y Se _y », ФИП (Физичецкая инженерия поверхности), Вып. 11, No. 2, 2013, pp. 195-198.
Л.Н. Лукьянова, В. Кутасов и П. Константинов, «Эффективная масса и подвижность в твердом p-Bi ₂ _– _x Sb _x Te ₃ _– _y Se _y для температур
Н.Мотт и Э. Девис, «Электронные процессы в некристаллических материалах», 2-е издание, Clarendon Press, Oxford, 1982.
В.Б. Бонч-Бруевич и др., «Электронная теория некристаллических полупроводников», Наука, Москва, 1981
А.И. Ансельм, «Введение в полупроводники», Наука, Москва, 1978.
К.В. Шалимова, «Физика полупроводников», Энергоатомиздат, Москва, 1985.
АМР Годенир, «Новые полупроводниковые материалы с разбавленным нитридом. Приложения », Ланкастерский университет, 2008 г.
A. Caiafa, X. Wang, J. L. Hudgins, E. Santi и P. R. Palmer, «Криогенное исследование и моделирование IGBTS», 34-я ежегодная конференция специалистов по силовой электронике IEEE, 15-19 июня 2003 г., стр. 1897-1903.
Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie
Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.
Настройка вашего браузера для приема файлов cookie
Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно.Ниже приведены наиболее частые причины:
В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
Дата на вашем компьютере в прошлом.Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.
Почему этому сайту требуются файлы cookie?
Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу.Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.
Что сохраняется в файле cookie?
Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.
Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта.Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.
2. Просмотр плотности состояний Рассчитайте общее количество доступных состояний в проводимости b …
Пожалуйста, объясните часть b подробно, спасибо! Вопрос 2 При 300 К ширина запрещенной зоны GaP составляет 2,26 эВ, а эффективная плотность состояний на границе зоны проводимости и валентной зоны равна 1.8 x 1019 см23 и 1,9 x 1019 …
Пожалуйста, объясните часть b подробно, спасибо! Вопрос 2 При 300 К ширина запрещенной зоны GaP составляет 2,26 эВ, а эффективная плотность состояний на границе зоны проводимости и валентной зоны составляет 1,8 · 1019 см23 и 1,9 · 1019 см3 соответственно. (a) Рассчитайте собственную концентрацию GaP при 300K (7 баллов). Рассчитайте эффективную массу дырок GaP при 300K. (б) (8 баллов) (в) Теперь образец GaP легирован донорской концентрацией 1021 см3 с …
15-4.Как показано на рис. 15.2, плотность занятых состояний в зоне проводимости проходит через максимум чуть выше …
15-4. Как показано на рис. 15.2, плотность занятых состояний в зоне проводимости проходит через максимум немного выше дна зоны. Вычислите энергетическое разделение (в эВ) между положением этого максимума и нижней частью полосы при T 300 K. Вы можете предположить, что плотность состояний имеет форму, показанную в уравнении (15.1) Ex Z (E) F ( E) F (E) Z (E) Рисунок 15.-31 кг, а kB – постоянная Больцмана. Какое значение имеет N2 / N1?
Определите концентрацию основных носителей заряда в полупроводнике Si n-типа в терминах зоны проводимости …
Определите концентрацию основных носителей заряда в полупроводнике Si n-типа через энергию края зоны проводимости E и энергию Ферми E. 1. 2 балла Найдите выражение для Ee -Ef, т. Е. Разность между энергией края зоны проводимости и энергия Ферми через концентрацию доноров ND.4 балла Определите концентрацию примесных донорных атомов, которые необходимо добавить в кремний, чтобы Ec-E0,2 эВ. 3 балла
(2) В полупроводнике с запрещенной зоной Eg между валентной зоной и зоной проводимости можно взять Ef (фермиен …
(2) В полупроводнике с энергетической щелью Eg между валентной зоной и зоной проводимости мы можем принять Ef (энергию Ферми) равной половине расстояния между зонами (см. Рисунок ниже): Зона проводимости Энергетическая щель Eg Валентная зона Полупроводник a.Покажите, что для типичного полупроводника или изолятора при комнатной температуре фактор Ферми-Дирака приблизительно равен exp (-E 2kBT). (Типичное значение, например, для полупроводников составляет от 0,5 до 6 эВ при T-293K.) B. В сильно легированном кремнии n-типа …
Вот используемые уравнения: Используйте уравнение. (2) ниже, чтобы вычислить собственную числовую плотность …
Вот используемые уравнения: Используйте уравнение. (2) ниже, чтобы вычислить собственную плотность электронов проводимости в Si при температуре 405 К.Вы можете использовать значения эффективной массы mp 1.04mo. 09m1, где m – масса свободного электрона, а значение энергии запрещенной зоны E- 1,12 эв. Проводимость полупроводникового материала может быть выражена следующим образом: где q – элементарный заряд, n – плотность электронов проводимости, μη …
Эксперимент 11: Исследование энергии запрещенной зоны, материалов и конструкции светоизлучающих диодов (LED) 3. Для устройства …
Эксперимент 11: Исследование энергии запрещенной зоны, материалов и конструкции светоизлучающих диодов (LED) 3.Чтобы устройство было хорошим проводником, в зоне проводимости должна быть значительная электронная популяция. Когда к полупроводнику не поступает энергия, относительная населенность зоны проводимости подчиняется закону населенности Больцмана. В случае диода уравнение выглядит следующим образом: CB Population = e / RT VB Population Где CB и VB заполненность – соответствующие концентрации электронов в проводимости -…
6) Определите количество энергетических состояний на кубический см в (а) Кремний между E ,…
6) Определите количество энергетических состояний на кубический см в (a) Кремний между E и Ec + 0,56 эВ при T-300K (b) GaAs между Ee и Ee + 0,65 эВ при T-300K Примечание: эффективная масса электрон в кремнии в 1,08 раза больше его нормальной массы; эффективная масса электрона в GaAs в 0,067 раза больше его нормальной массы. Ваш окончательный ответ будет в кубических метрах, поэтому вам нужно будет умножить на 10 …
Вопрос 3: Предположим, что канал транзистора сделан из двумерного углеродного нанолиста и имеет длину 100…
Вопрос 3: Предположим, что канал транзистора сделан из двумерного углеродного нанолиста, длиной 100 нм и шириной 5 нм. Если задано следующее соотношение энергия / импульс: | P E = + EC E> EC, где P – импульс, Ec – уровень энергии на краю зоны проводимости. 1) Постройте соотношение энергии и импульса. [5 баллов] 2) Выведите выражение для N (E). [10 баллов] 3) Выведите выражение для плотности состояний D (E). [10 …
Теоретический раздел приведен ниже для уравнений PRELAB Прочтите теоретический раздел ниже.Вычислите фотон …
Теоретический раздел приведен ниже для уравнений PRELAB Прочтите теоретический раздел ниже. Вычислите длину волны фотона в нм, соответствующую энергии фотона, равной теоретической энергии запрещенной зоны S1,121 эВ и GaAs, 1,422 эВ. Они будут использоваться для настройки монохроматора. ТЕОРИЯ Одной из наиболее важных характеристик полупроводника является его ширина запрещенной зоны Eg. В то время как электрон в изолированном атоме имеет дискретные уровни энергии, электрон в кристалле полупроводника имеет…
Состояние зоны проводимости – обзор
Феноменологическая модель Лоренца
Самая простая и общая ситуация, имитирующая переход между различными зонами, соответствует прямому электронному переходу между основным состоянием (валентная зона) и возбужденными состояниями (зона проводимости) идентичных атомы. Возбуждение, индуцированное электромагнитными полями, можно рассматривать с помощью нестационарного уравнения Шредингера. В идеальном кристалле полный кристаллический потенциал, воспринимаемый электронами, имеет периодичность кристаллической решетки, а решения уравнения Шредингера являются хорошо известными функциями Блоха.Подробное описание этого подхода, которое в конечном итоге привело к явному виду уравнения [3], можно найти в специальной литературе.
Чтобы выделить соответствующие оптические отпечатки пальцев в ленточных полупроводниках или изоляторах, используется так называемая модель Лоренца. Будучи феноменологической, эта модель улавливает основные особенности и позволяет извлекать несколько полезных параметров из оптического отклика полупроводников. Предполагая реакцию классического гармонического осциллятора, электроны в модели Лоренца связаны с ядром атома (как маленькая масса, связанная с большой массой пружиной).Такая классическая теория дисперсии приводит к следующему выражению комплексной диэлектрической функции:
[9] ε˜ (ω) = ε1 (ω) + iε2 (ω) = ε∞ + ωp2 (ω02 − ω2) −iΓω
где h̸ ω ₀ – энергия резонанса связанного электрона, Γ – затухание, а ωp2 – сила осциллятора. Аналогия с квантово-механической обработкой идентифицирует h̸ ω ₀ с разностью энергий между двумя электронными состояниями, участвующими в переходе (например, изолирующей щелью), и ωp2 как мерой относительной вероятности перехода.
На рисунке 2 показаны действительная ε ₁ (дисперсионная) и мнимая ε ₂ (поглощающая) части ε˜ (ω) для одного единственного поглощения, которое точно происходит при ω ₀. Полная ширина области аномальной дисперсии в ε ₁ равна Γ (см. Рис. 2). Для Γ≪ω0 имеется небольшая дисперсия, и в этом пределе полная ширина кривой ε ₂ на полувысоте также определяется Γ. Действительная часть ε ₁ характеризуется пределом ω → 0, так называемой статической диэлектрической проницаемостью ε ₀ (Рисунок 2):
Рисунок 2.Реальная ( ε ₁) и мнимая ( ε ₂) части комплексной диэлектрической функции, вычисленные по модели Лоренца для одного генератора с одной гармоникой (уравнение [9]). Параметры: ε _∞ = 2, ω ₀ = 5000 см ⁻¹, Γ = 1000 см ⁻¹ и ω _p = 3 × 10 ⁴ см. ^-1. Показана статическая диэлектрическая проницаемость ε ₁ ( ω → 0) = ε ₀ (уравнение [10]).На вставке увеличено ε ₁ ( ω ) на высоких частотах, где показано пересечение нуля ε ₁ ( ω ) = 0 и высокочастотный предел ε ₁ ( ω → ∞) = ε _∞ действительной части диэлектрической проницаемости. Здесь и в других местах в этой статье энергия фотона выражается как частота в волновом числе (см ^-1), так что 1 эВ = 8,065 48 × 10 ³ см ^-1.
[10] ε0 = ε∞ + ωp2ω02
и, по пределу ω → ∞, совпадающая с оптической постоянной ε _∞ (вставка на рис. 2). Для материала с дискретным числом гармонических осцилляторов Лоренца на высоких частотах (представляющих, например, межзонные переходы) каждый из таких осцилляторов будет вносить вклад в ε ₀ аддитивным образом. Следовательно, ε _∞ феноменологически учитывает статический вклад этих высокочастотных (энергетических) возбуждений.
Из известных соотношений классической электродинамики можно оценить оптические функции ( μ = 1):
[11] ε1 = n2 − k2
[12] ε2 = 2nk = 4πσ1ω
где n – показатель преломления, k – коэффициент поглощения и σ ₁ – действительная часть оптической проводимости.
С экспериментальной точки зрения, несколько методов позволяют достичь этих фундаментальных величин. Один из способов – извлечь эти оптические функции из измерения оптической отражательной способности, определяемой как
[13] R = n − 12 + k2n + 12 + k2
Когда коэффициент отражения известен в широком спектральном диапазоне, простирающемся на несколько В течение десятилетий в энергии фотонов можно выполнить надежные преобразования Крамерса – Кронига (КК).Преобразования KK представляют собой классическое дисперсионное соотношение, основанное на принципе причинности, и связывают фазу Θ комплексного коэффициента отражения r˜ = ReiΘ с измеренной величиной R . Когда фаза Θ известна, можно вычислить все оптические функции, решив уравнение
[14] ReiΘ = (1 − n˜) (1 + n˜)
относительно n и k (n ˜ = n + ik) и используя уравнения [11] и [12].
В целях иллюстрации на рисунке 3 показана типичная форма R ( ω ) для изолятора, рассчитанная в рамках модели Лоренца для одного одиночного (зазорного) возбуждения по формулам [9] и [11] – [13].Начиная с нулевой частоты в области для ω < ω ₀, получается ε ₂ = 0 и ε ₁> 1, так что k ∼ 0 и ε ₁ = n ². Таким образом, это область высокой прозрачности (T), и поглощения не происходит. При дальнейшем увеличении частоты, наоборот, происходит сильное поглощение (A), в то время как для ω > ω ₀ электроны изоляторов реагируют, как если бы они были свободными электронами (R).Это связано с тем, что энергия фотона намного превышает энергию связи h̸ ω ₀ электрона, который в конечном итоге возбуждается в континуум. Следовательно, в этой последней области спектр R ( ω ) выглядит как спектр металла. Если Γ → 0, то R ( ω ) → 100%, что также называется «Reststrahlen» или областью полного отражения. На частотах порядка ω˜p≈ωp / ε∞ наблюдается резкое падение R ( ω ).ω˜p также определяет частоту, при которой материал снова становится прозрачным (T)!
Рис. 3. Оптическая отражательная способность изоляционного материала, рассчитанная по формулам [9] и [11] – [13] в рамках модели Лоренца для одного одиночного (например, щелевого) возбуждения (те же параметры, что и на рисунке 2). T означает прозрачный, A для поглощения и R для отражения.
Попутно упоминается, что поведение металла получается в рамках модели Лоренца, задав ω ₀ = 0 в уравнении [9].В этом случае R ( ω ) → 100% (полное отражение) для ω → 0 и (резкое) падение на высокой частоте (т.е. ω∼ω˜p) на Рисунке 3 тогда будет соответствовать так называемый плазменный край (более подробную информацию об оптическом отклике металла см. в разделе «Дополнительная литература»).
Феноменологическое представление, принятое до сих пор, рассматривало одно одиночное электронное возбуждение, совпадающее с изолирующим зазором. Как правило, спектр поглощения дополнительно характеризуется другими возбуждениями, происхождение которых может быть весьма различным в зависимости от спектрального диапазона, в котором возникают эти возбуждения.Например, при более высоких энергиях возможны электронные межзонные переходы. Ниже минимально возможного электронного межзонного перехода (щели), в так называемой прозрачной области, можно обнаруживать различные типы возбуждений, такие как фононные моды, обусловленные колебаниями решетки или коллективными возбуждениями. Экситоны и примесные состояния могут вносить еще один важный вклад в спектр поглощения полупроводников. Экситоны возникают в результате кулоновского взаимодействия и состоят из пары электрон-дырка, которая может быть подвижной.Он не влияет на проводимость постоянного тока, но может возбуждаться электромагнитным полем. С другой стороны, кулоновские взаимодействия между примесным потенциалом и электронами приводят к связанным состояниям, локализованным в узлах примесного потенциала. Во всех случаях возникающие возбуждения можно описать просто, заимствуя концепции, разработанные для энергетических уровней отдельных атомов. Эти возбуждения проявляются как резонанс поглощения и, подобно электронным межзонным возбуждениям, могут быть описаны с помощью специальных гармонических осцилляторов Лоренца.Следовательно, можно восстановить весь спектр поглощения изоляторов, добавив столько генераторов гармонических гармоник Лоренца, сколько необходимо для каждого возбуждения.
Больцмановское приближение
Вблизи верха валентной зоны и дна зоны проводимости плотность состояний полупроводника может быть аппроксимирована как,
$ D (E) = \ begin {cases} D_v \ sqrt {E_v-E}, & \ mbox {for} E \ lt E_v \\ 0, & \ mbox {for} E_v \ lt E \ lt E_c \\ D_c \ sqrt {E-E_c}, & \ mbox {for} E_c \ lt E \ end {case} $
Где $ D_v $ и $ D_c $ – константы, описывающие форму плотности состояний вблизи краев зоны.{3/2}}. $$
Если верх валентной зоны или низ зоны проводимости не является простой параболой, плотность состояний обычно возрастает как квадратный корень на краях зоны, и можно подобрать константы $ D_c $ и $ D_v $ к расчетной плотности состояний. На графике ниже показаны плотности состояний различных полупроводников в этом приближении. Построена также функция Ферми. При низких энергиях значение функции Ферми равно 1, и эти состояния заняты. При высоких энергиях функция Ферми стремится к нулю, и эти состояния не заняты.В пределе низкой температуры химический потенциал находится в середине запрещенной зоны, $ \ mu = E_g / 2 $. С повышением температуры химический потенциал движется в сторону зоны с меньшей плотностью состояний.
$ D (E) $ [эВ ^-1 см ^-3]
× 10 ^-30
$ E $ [эВ]
Электроны в зоне проводимости
Концентрация электронов в зоне проводимости представляет собой интеграл по зоне проводимости от функции Ферми, умноженной на плотность состояний,
$$ n = \ int \ limits_ {E_c} ^ {\ infty} D (E) f (E) dE.

Промышленная вентиляция в Москве строительство монтаж в Подольске

Физические процессы в p-n переходах. Физический смысл понятия “Эффективная плотность состояний”

Лабораторная работа№1

Физические процессы в p-n переходах

Владимир, 2002

Состояний плотность в зоне проводимости

Эффективная плотность состояний – Справочник химика 21

эффективная плотность состояний (на 1 см3) в зоне проводимости).

Электроника NС – эффективная плотность состояний (на 1 см3) в зоне проводимости).

Читайте также

Эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Электротехника Эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Читайте также

ЗАХВАТ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА – это… Что такое ЗАХВАТ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА?

Полезное

Смотреть что такое “ЗАХВАТ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА” в других словарях:

Энергия ферми формула для металлов. Связь энергии Ферми и концентрации электронов проводимости

Уровень Ферми в собственном полупроводнике

Уровень Ферми в примесных полупроводниках

Уровень Ферми при ненулевых температурах

Энергия Ферми, Температура Ферми и Скорость Ферми

Связь энергии Ферми и концентрации электронов проводимости

Плотность состояний

Плотность носителей заряда (электроны и дырки)

. Температурная зависимость плотности состояний в полупроводниках

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Что сохраняется в файле cookie?

2. Просмотр плотности состояний Рассчитайте общее количество доступных состояний в проводимости b …

15-4.Как показано на рис. 15.2, плотность занятых состояний в зоне проводимости проходит через максимум чуть выше …

Определите концентрацию основных носителей заряда в полупроводнике Si n-типа в терминах зоны проводимости …

(2) В полупроводнике с запрещенной зоной Eg между валентной зоной и зоной проводимости можно взять Ef (фермиен …

Вот используемые уравнения: Используйте уравнение. (2) ниже, чтобы вычислить собственную числовую плотность …

Эксперимент 11: Исследование энергии запрещенной зоны, материалов и конструкции светоизлучающих диодов (LED) 3. Для устройства …

6) Определите количество энергетических состояний на кубический см в (а) Кремний между E ,…

Вопрос 3: Предположим, что канал транзистора сделан из двумерного углеродного нанолиста и имеет длину 100…

Теоретический раздел приведен ниже для уравнений PRELAB Прочтите теоретический раздел ниже.Вычислите фотон …

Состояние зоны проводимости – обзор

Феноменологическая модель Лоренца

Больцмановское приближение

Вам может понравится

Газовый котел для квартиры какой лучше: Какой купить газовый котел для квартиры?

Утеплитель изовол ст 50 отзывы: Утеплитель IZOVOL Ст-50, 1200Х600Х50 мм, (8 плиты, 5,76 кв.м) (Каменная вата)

Как посчитать гкал: расчет количества тепла в кВт, формула расчета теплоэнергии в киловатт и Гкал, расшифровка, фото и видео примеры

Добавить комментарий Отменить ответ